Coefficiente di riempimento

[Quelo]

Supponiamo di coprire una superficie infinita con cerchi di raggio uguale disponendoli in modo da massimizzare la superficie coperta.

Calcolare il Coefficiente di riempimento del cerchio $C_{r^2}$ corrispondente al rapporto tra la superficie coperta e la superficie totale.

Passando alle tre dimensioni supponiamo di riempire lo spazio con delle sfere in modo da massimizzare lo spazio riempito.

Calcolare il Coefficiente di riempimento della sfera $C_{r^3}$ corrispondente al rapporto tra il volume riempito e il volume totale.

[delfo52]

il problema può essere affrontato in linea teorica assumendo lo spazio (bi o tridemensionale) da riempire come infinito; oppure si possono fare le prove con superfici e volume definiti, sia per il contenente che per il contenuto. In tali casi si possono avere soluzioni "atipiche".
Non so riprodurla, ma qualcuno è certo in grado di trovare la stravagante soluzione per il più piccolo "recinto" capace di ospitare 13 dischi unitari.
In uno spazio quadrato di circa 3,7 di lato ci possono stare; e il bello è che uno addirittura ci "balla" !

Per le tre dimensioni, traago da "how long is a piece of string" alcune considerazioni sull'impilamento delle arance sui banconi dei mercati.
Anche se la prima "costruzione geometrica" che si riconosce in quelle belle piramidi quadrangolari, è appunto il quadrato, osservando la figura dall'alto è possibile identificare anche una successione di esagoni, non regolari, un po' appiattiti.
Keplero nel 1690 ipotizzò che questa fosse la soluzione ottimale per stivare arance (o meglio oggetti sferici)
pare che solo nel 1996 tale assunto sia stato dimostrato.
Le arance occupano un po' più del 74%; per la precisione pigreco/radice di 18.
e se provassimo a comprimere la piramide di arance? quale forma assumerebbero quando tutta l'aria fosse stata eliminata?
Per vederlo si può prendere un mezzo chilo di piselli freschi, passati al vaglio per averli di uguale diametro, pressati forte, e surgelati.
estratto il giorno dopo il malloppo, si cerca di sgranarlo finchè è solido e freddo. oppure lo si taglia con acconcio attrezzo e applicando formule stereometriche alle sezioni ottenute si risale alla forma dell'oggetto sezionato (ci ho fatto la tesi sora !!)

Vi lascio qualche giorno per fare l'esperimento

[Ivana]

Nel libro "Il computer di Dio" di Piergiorgio Odifreddi, c'è l'articolo "La rivincita dei fruttivendoli" in cui si sottolinea come essi abbiano sempre disposto le arance nelle cassette, o in mucchi al mercato, colmando a ogni strato gli avvallamenti lasciati dallo strato precedente. Per quasi quattrocento anni i matematici hanno provato a cercare disposizioni più efficienti per le arance, senza trovarle. Tale problema, in realtà, era stato posto nel 1611 da Sir Walter Raleigh, "il navigatore al soldo della regina Elisabetta, che organizzò le spedizioni da cui nacque l'imperialismo coloniale inglese: la sua preoccupazione era trasportare nel modo più efficiente non arance, ma palle di cannone. Il professor Thomas Hales Dell'Università del Michigan ha annunciato nell'estate del 1998 di aver finalmente risolto questo famoso problema, grazie a una dimostrazione di 250 pagine e un programma di computer di 3 gigabytes: le arance continueranno ad avere la stessa disposizione <<in saecula saeculorum>>, perché nessuno può fare di meglio. Ovvero, anche la matematica deve inchinarsi alle leggi del mercato."

Cari saluti a tutti (La prossima settimana sarò impegnatissima per motivi familiari...)