Ho provato a scrivere un ragionamento passo passo aiutandomi con un bel po' di figure:
1. Per prima cosa disegno il generico triangolo acutangolo ABC e l'altrettanto generico triangolo inscritto GMN:
2. "Rifletto" la figura disegnata rispetto al lato BC:
3. Faccio ancora una "riflessione" rispetto al lato BA'; il perimetro del triangolo GMN è uguale alla lunghezza della spezzata GNM'G':
4. Si deduce immediatamente che fra tutti i triangoli inscritti con vertice in G, quello con perimetro minore è GPR (i segmenti che formano la spezzata sono allineati):
E' interessante (
1) notare le equaglianze fra gli angoli evidenziati nella figura.
5. Dal disegno, costruito per successive "riflessioni", si nota che BG=BG':
(si nota subito, adesso. Io ci ho messo 10 mesi!)
6. L'angolo GBG' è uguale al doppio dell'angolo ABC e non varia se spostiamo G lungo il lato AC. Di conseguenza per minimizzare la lunghezza GG' è necessario che sia minima la distanza BG, cosa che avviene se G corrisponde al piede dell'altezza del triangolo ABC:
7. Posso quindi disegnare il triangolo inscritto con perimetro minimo:
8. Che non è altri che il desiderato triangolo "ortico":
(
1)
Sino a questo punto c'ero arrivato quasi subito e mi aveva subito portato la mente ad uno dei primi problemi sui quali mi ero cimentato.
Il topic era
Alcuni Interessanti Problemi riproposto da me successivamente (
Il Biliardo Minimo), ma senza successo.
Avevo provato per mesi a trovare una soluzione analitica ma poi, grazie al consiglio di Bruno, ho cominciato a guardare, guardare e riguardare; ieri notte, grazie al fatto che per la prima volta ho tracciato le linee BG e BG' è arrivato il lampo che ha squarciato le tenebre!
Meno male! temevo di dover restare per il resto dei miei giorni col dubbio su quale fosse la più breve traiettoria chiusa in un biliardo triangolare!
ciao
