Ho un nuovo quesito per voi.
Premetto che se è già comparso sul sito di Base5 Pietro è liberissimo di cancellare questo post
Prendiamo il numero naturale n che preferiamo. Quindi eseguiamo i seguenti passi:
1) Scriviamolo "in base 2", cioè come combinazione lineare di potenze di 2 ad addendi positivi (per esempio, $9=2^3+2^0$).
2) Scriviamo ogni esponente in base 2 (per esempio, $9=2^{2^1+1}+2^0$), ottenendo un'espressione "ben definita", cioè unica.
3) Sostituiamo 3 ad ogni 2 che compare nell'espressione (per esempio, $2^{2^1+2^0}+2^0$ diventa $3^{3^1+3^0}+3^0$) e poi togliamo 1 al risultato (ottenendo in questo caso $3^{3^1+3^0}$).
4) Scriviamo il numero ottenuto in base 3, avendo cura di scrivere anche tutti gli esponenti in base 3 (in questo caso rimane tale: $3^{3^1+3^0}$).
5) Sostituiamo 4 ad ogni 3 che compare nell'espressione e togliamo 1 al risultato. Riscriviamo il risultato in base 4 avendo cura di scrivere anche tutti gli esponenti in base 4.
...
k+1) Sostituiamo k ad ogni k-1 che compare nell'espressione e togliamo 1 al risultato. Riscriviamo il risultato in base k avendo cura di scrivere anche tutti gli esponenti in base k.
...
Faccio un altro esempio con n=4:
$4=1 \cdot 2^2$
$1 \cdot 3^3-1 = 2 \cdot 3^2+2 \cdot 3^1+2 \cdot 3^0$
$2 \cdot 4^2+2 \cdot 4^1+2 \cdot 4^0 -1 = 2 \cdot 4^2+2 \cdot 4^1+1 \cdot 4^0$
$2 \cdot 5^2+2 \cdot 5^1+1 \cdot 5^0 - 1 = 2 \cdot 5^2+2 \cdot 5^1$
$2 \cdot 6^2+2 \cdot 6^1 - 1 = 2 \cdot 6^2+1 \cdot 6^1+5 \cdot 6^0$
$2 \cdot 7^2+1 \cdot 7^1+5 \cdot 7^0 - 1 = 2 \cdot 7^2+1 \cdot 7^1+4 \cdot 7^0$
$2 \cdot 8^2+1 \cdot 8^1+4 \cdot 8^0 - 1 = 2 \cdot 8^2+1 \cdot 8^1+3 \cdot 8^0$
$2 \cdot 9^2+1 \cdot 9^1+3 \cdot 9^0 -1 = 2 \cdot 9^2+1 \cdot 9^1+2 \cdot 9^0$
$2 \cdot 10^2+1 \cdot 10^1+2 \cdot 10^0 - 1 = 2 \cdot 10^2+1 \cdot 10^1+1 \cdot 10^0$
$2 \cdot 11^2+1 \cdot 11^1+1 \cdot 11^0 - 1 = 2 \cdot 11^2+1 \cdot 11^1$
$2 \cdot 12^2+1 \cdot 12^1 -1 = 2 \cdot 12^2 + 11 \cdot 12^0$
...
Questo bell'algoritmo sembra generare una successione ben crescente di numeri naturali.
Vi chiedo... è davvero così? Cosa succede spingendosi "abbastanza avanti"?
