En passant
Moderatori: Gianfranco, Bruno
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En passant
Il triangolo marrone ha la base uguale a $\frac13$, mentre l'altezza
è $\frac{1}{12}$.
I due triangoli verdi (capovolti) hanno il punto in comune
che coincide con il baricentro del triangolo marrone e la
base di quest'ultimo è divisa dai loro vertici in tre parti
uguali.
La stessa cosa diciamo per i triangoli arancioni rispetto a
quelli verdi, per i triangoli azzurri rispetto a quelli arancioni
etc.
Immaginiamo, ora, di sommare tutti i perimetri degli infiniti
triangoli trovati in questo modo.
Quale numero si ottiene e perché?
.^.^.^.^.^
E poi ripropongo questa, che viene da qui.
Abbiamo $\/a, \/m, \/n \/\in\/ \mathbb{N}$, con $\/m\neq n$.
Dovremmo dire quali valori può assumere il massimo
comun divisore di $\large \/a^{\small 2^{\tiny m}}+1\/$ e $\large \/ a^{\small 2^{\tiny n}}+1\/$.
Bruno
in realtà, conoscendo un poco, o crrdendo di conoscere, il tuo modus cogitandi, prima ancora di mettermi a fare i conti, un sospetto mi è venuto.
Poi, non essendo capace di manovrare gli strumenti matematici "ufficiali", sfruttando la mia capacità di calcolo mentale elementare ("più" e "per") ho fatto una simulazione virtuale partendo invece che da 1/3 (odio le frazioni) con un molto più simpatico e maneggevole 729
in pochi passi sono arrivato a circa 2172, aggiungendo termini via via decrescenti.... resteranno da sommare pochi elementi significativi, per un'altra quindicina di punti o poco più
Toh ! siamo quasi a 2187 !
Poi, non essendo capace di manovrare gli strumenti matematici "ufficiali", sfruttando la mia capacità di calcolo mentale elementare ("più" e "per") ho fatto una simulazione virtuale partendo invece che da 1/3 (odio le frazioni) con un molto più simpatico e maneggevole 729
in pochi passi sono arrivato a circa 2172, aggiungendo termini via via decrescenti.... resteranno da sommare pochi elementi significativi, per un'altra quindicina di punti o poco più
Toh ! siamo quasi a 2187 !
Enrico
Considerato che il triangolo marrone ha un perimetro di $\frac{1}{3}+\frac{\sqr{5}}{6}$ e che la sommatoria proposta da Delfo converge a 3, come già detto, direi che la somma di tutti i perimetri vale $1+\frac{\sqr{5}}{2}\approx2.118$
Tra l'altro ho scoperto che $\sum_{n=0}^{\infty}(\frac{j}{k})^n=\frac{k}{k-j}$ mi sapreste dire come si dimostra ?
SE&O
[Quelo]
Tra l'altro ho scoperto che $\sum_{n=0}^{\infty}(\frac{j}{k})^n=\frac{k}{k-j}$ mi sapreste dire come si dimostra ?
SE&O
[Quelo]
[Sergio] / $17$
Bravo, Quelo, anche per gli endecasillabiQuelo ha scritto:Considerato che il triangolo marrone ha un perimetro di $\frac{1}{3}+\frac{\sqr{5}}{6}$ e che la sommatoria proposta da Delfo converge a 3, come già detto, direi che la somma di tutti i perimetri vale $1+\frac{\sqr{5}}{2}\approx2.118$
In sostanza, aggiungiamo all'unità la sua metà
(suddivisione immediata ma perfetta) e poi la
sua parte aurea (suddivisione meno immediata
ma non meno perfetta).
L'espressione che hai trovato è vera quando $\/\frac j k$
è, in valore assoluto, minore di 1, perché in
questo caso la serie geometrica converge.
Prendiamo la progressione geometrica finita:
$1, \/\frac j k,\/ \(\frac j k\)^2, \/\(\frac j k\)^3, \/ ... \/, \(\frac j k\)^n$,
sappiamo che la somma è: $\;\large \frac{1-\(\frac j k\)^{n+1}}{1-\frac j k}$.
Se il valore assoluto della ragione $\small \/\frac j k\/$ è minore
di 1, quando $\/n\/$ tende all'infinito il termine $\small \(\frac j k\)^{n+1}$
tende a zero e perciò ottieni il risultato che hai
scoperto.
Enrico, chiaramente a te non serve saper manovrareEnrico ha scritto:Poi, non essendo capace di manovrare gli strumenti matematici "ufficiali", sfruttando la mia capacità di calcolo mentale elementare ("più" e "per") ...
gli strumenti "ufficiali" (ma ci sono davvero?), proprio
per niente
Servirebbe a me, probabilmente, avere un po' delle
tue felici e mai ovvie intuizioni
Sotto con l'altro!
Bruno
Io di fronte a un problema del genere affronto la questione così: ho una somma infinita di termini in progressione geometrica, $\displaystyle \sum=1+q+q^2+q^3+...$. Porto a primo membro l'uno e raccolgo la $\displaystyle q$ a secondo, ottenendo $\displaystyle \sum-1=q(1+q+q^2+q^3+...=q\sum$. Da lì si ottiene $\displaystyle \sum \cdot (1-q)=1$, quindi finalmente $\displaystyle \sum=\frac{1}{1-q}$, da cui si può ottenere anche la tua formula per le frazioni. E' un metodo molto classico e arcinoto, ma ha il pregio di poter essere usato in molte situazioni dove compaiono somme infinite, di essere piuttosto semplice e (a mio modesto parere) un bell'esempio di ragionamento matematico.Quelo ha scritto:Tra l'altro ho scoperto che $\sum_{n=0}^{\infty}(\frac{j}{k})^n=\frac{k}{k-j}$ mi sapreste dire come si dimostra ?
En passant, noto magno *beep* gaudio che la mia soluzione di oggi pomeriggio era miracolosamente giusta. Eh, son soddisfazioni...
Saluti
0-§
P.S. Non ho rivisitato l'espressione inserendo una pesante imprecazione tra il "magno" e il "gaudio", è che la versione latina del nostro "con" viene censurata
Lo scopo principale di una dichiarazione DATA è quello di dare dei nomi alle costanti; anziché inserire ogni volta 3.141592653589793 come valore di $\pi$, con una dichiarazione DATA si può assegnare tale valore alla variabile PI che può essere poi usata per indicare la costante. Ciò rende anche più semplice modificare il programma, qualora il valore di $\pi$ dovesse cambiare.
-Da un vecchio manuale FORTRAN della Xerox
-Da un vecchio manuale FORTRAN della Xerox
Se aggiungi uno spazio fra le lettere, Giovanni, e scrivi0-§ ha scritto: En passant, noto magno *beep* gaudio ...
P.S. Non ho rivisitato l'espressione inserendo una pesante imprecazione tra il "magno" e il "gaudio", è che la versione latina del nostro "con" viene censurata
così: C U M, il $\/$ *beep* $\/$ non compare.
Paradossalmente, in questo modo passerebbe di tutto...
Ciao
Bruno
Io userei il bbcode (interponi dei caratteri con size=1)
magno ciuim gaudio
per la cronaca
il tutto è scritto così
[edited]
Per l'arancione il colore sarà FFE09F
vedete che è facile?
magno ciuim gaudio
per la cronaca
il tutto è scritto così
Codice: Seleziona tutto
c[size=1][color=#F7F4EA]i[/color][/size]u[size=1][color=#F7F4EA]i[/size][/color]m
Per l'arancione il colore sarà FFE09F
vedete che è facile?