Abbiamo $\/a, \/m, \/n \/\in\/ \mathbb{N}$, con $\/m\neq n$.
Dovremmo dire quali valori può assumere il massimo
comun divisore di $\large \/a^{\small 2^{\tiny m}}+1\/$ e $\large \/ a^{\small 2^{\tiny n}}+1\/$.
4 )
In quali casi i numeri naturali di questo tipo $\/x^{\small 4}-3x+6\/$
corrispondono a una potenza di $\/2\/$?.
Per quanto riguarda la soluzione del 2° problema ho notato che:
DUE = 2 = 1x2 (DUE è composto di tre cifre =1 + 2)
TRE = 2 = 1x2 (TRE è composto di tre cifre =1 + 2)
CINQUE = 9 = 3x3 (CINQUE è composto di sei cifre =3 + 3)
.....
....
CENTOTRENTUNO = 40 = 8x5 (CENTOTRENTUNO è composto di tredici cifre =5 + 8 )
(Spero di essere sulla pista giusta per risolverlo)
In quali casi i numeri naturali di questo tipo $\/x^{\small 4}-3x+6\/$
corrispondono a una potenza di $\/2\/$?.
Direi che vale solo per il 2.
Ho fatto questo ragionamento, mi sembra che quadri:
Consideriamo x > 2 risulta 3x > 6 per cui il secondo termine (-3x + 6) sarà sempre negativo.
Consideriamo ora che per $x = 2^n$ si ha che $x^4$ è potenza di 2 e per ottenere un'altra potenza di 2 dovremmo sottrarre una quantità pari a $\frac{x^4}{2}$ che sicuramente è maggiore di (3x-6) per x>1.
EDIT: questa parte del ragionamento
Prendiamo allora $x = 2^n+1$ dovrebbe essere $x^4-3x+6=(x-1)^4$ che però non ha soluzioni intere positive. non porta da nessuna parte
P.S.: Tutto ciò considerando x appartenente ai naturali (nel testo del quesito non è precisato), in caso contrario nel campo dei complessi $x^{\small 4}-3x+6=2^n$ ha sempre una soluzione.
Ultima modifica di Quelo il lun ago 27, 2007 12:52 pm, modificato 1 volta in totale.
Riguardo un attimo la tua spiegazione
perché alla prima (e seconda) lettura
non l'ho afferrata bene... (in effetti,
è lunedì!)
A presto
Capisco, in effetti mi hanno fatto notare che non risponde al problema. Devo verificare e riformulare. Nel frattempo ho verificato sperimentalmente e non ho trovato soluzioni diverse da 2.
EDIT:
Ho rivisto il mio ragionamento precedente e mi sembra di poter escludere tutti i valori $x = 2^n$ con $n\/>\/1$ in quanto
$2^{m-1}\/<\/(2^n)^4-3(2^n)+6\/<\/2^m$ dove $2^{m-1} = \frac{(2^n)^4}{2}$ e $2^m = (2^n)^4$
Ultima modifica di Quelo il lun ago 27, 2007 7:19 pm, modificato 2 volte in totale.
Già, in effetti ci sarebbe anche questa
soluzione (fra parentesi, le "x" assumono
valori naturali).
Ancora non sono riuscito a capire bene
il ragionamento di Quelo, comunque.
Lo devo studiare meglio (si tratta senz'altro
di un mio limite). Spero di poterlo fare
domani
$\text x = \frac{x^4+6-2^n}{3} = 2 - \frac {2^n-x^4}{3}$
conclusione:
x deve essere intero e positivo e dunque $\frac{2^n-x^4}{3}$, oltre ad essere intero, può assumere solo i valori 0, 1 e 2 (perché per valori maggiori la x assumerebbe valori negativi), da cui: x = 2, 1, 0, .
Tuttavia, x=0 non è accettabile, perché nella 1) si verifica subito che 6 non è una potenza di 2; invece la 1) assume i valori accettabili di 4;16 per x=1;2 ( d'altra parte, se fosse x=0, in $\frac{2^n-x^4}{3}$ dovremmo cercare un $2^n$ divisibile per 3 )
Quindi si trova n=2;4
_________________
$\text { }$ciao ciao E' la somma che fa il totale (Totò)
