Trovar posto a un 2.
Moderatori: Gianfranco, Bruno
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Trovar posto a un 2.
Abbiamo un numero fatto così, nel sistema numerico usuale:
$\underbrace{111\,\cdot \cdot \cdot\,111}_{\large 1\, è \, ripetuto\, 2021\, volte}$
Numeri di questo tipo vengono spesso chiamati repunit.
Dove possiamo inserire un 2 affinché il numero risultante sia divisibile per 2021?
$\underbrace{111\,\cdot \cdot \cdot\,111}_{\large 1\, è \, ripetuto\, 2021\, volte}$
Numeri di questo tipo vengono spesso chiamati repunit.
Dove possiamo inserire un 2 affinché il numero risultante sia divisibile per 2021?
(Bruno)
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Invisibile un vento
l'ha apena sfioragia
sospension d'un momento;
e la bola iridessente gera 'ndagia.
{Biagio Marin}
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Meglio soluzioni sbagliate che risposte esatte.
{Rudi Mathematici}
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Re: Trovar posto a un 2.
Dopo quanti 1 a partire da destra (o da sinistra) ?
(Bruno)
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Re: Trovar posto a un 2.
Il quesito si presta a fraintendimenti.
la cifra "2" da inserire deve essere una soltanto?
Per "inserire" si intende che il 2 si aggiunge alle 2021 cifre, e che quindi il numero che cerchiamo è composto da 2022 cifre?
la cifra "2" da inserire deve essere una soltanto?
Per "inserire" si intende che il 2 si aggiunge alle 2021 cifre, e che quindi il numero che cerchiamo è composto da 2022 cifre?
Enrico
Re: Trovar posto a un 2.
Dove possiamo inserire un 2 affinché il numero risultante sia divisibile per 2021?
Il 2 da inserire è uno solo, Enrico, e quindi si aggiunge alle 2021 cifre, ottenendo così un numero di 2022 cifre, il quale deve essere divisibile per 2021
Potrebbe non esserci un'unica risposta.
(Bruno)
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Re: Trovar posto a un 2.
Se non ho sbagliato i calcoli, si può inserire il 2 dopo 945 cifre 1 partendo da destra oppure dopo 1911
Un numero repunit di $n$ cifre può essere scritto come $\displaystyle \frac{10^n-1}{9}$
Per inserire un 2 dopo $m$ cifre da destra, aggiungiamo prima un 1 e poi sommiamo $10^m$
$a=\displaystyle \frac{10^{2022}-1}{9}+10^m$
$\displaystyle \frac{10^{2022}-1}{9}$ appartiene alla classe di resto $[429] \pmod{2021}$
Perché $a$ sia divisibile per 2021, $10^m$ deve appartenere alla classe di resto $[1592] \pmod{2021}$ ossia $m=966k+945$
Per cui $\displaystyle \frac{10^{2022}-1}{9}+10^{945} = \underbrace{111...111}_\text{1076 cifre}2\underbrace{111...111}_\text{945 cifre} \equiv 0 \pmod{2021}$
verifica
ma anche $\displaystyle \frac{10^{2022}-1}{9}+10^{1911} = \underbrace{111...111}_\text{110 cifre}2\underbrace{111...111}_\text{1911 cifre} \equiv 0 \pmod{2021}$
verifica
Un numero repunit di $n$ cifre può essere scritto come $\displaystyle \frac{10^n-1}{9}$
Per inserire un 2 dopo $m$ cifre da destra, aggiungiamo prima un 1 e poi sommiamo $10^m$
$a=\displaystyle \frac{10^{2022}-1}{9}+10^m$
$\displaystyle \frac{10^{2022}-1}{9}$ appartiene alla classe di resto $[429] \pmod{2021}$
Perché $a$ sia divisibile per 2021, $10^m$ deve appartenere alla classe di resto $[1592] \pmod{2021}$ ossia $m=966k+945$
Per cui $\displaystyle \frac{10^{2022}-1}{9}+10^{945} = \underbrace{111...111}_\text{1076 cifre}2\underbrace{111...111}_\text{945 cifre} \equiv 0 \pmod{2021}$
verifica
ma anche $\displaystyle \frac{10^{2022}-1}{9}+10^{1911} = \underbrace{111...111}_\text{110 cifre}2\underbrace{111...111}_\text{1911 cifre} \equiv 0 \pmod{2021}$
verifica
[Sergio] / $17$
Re: Trovar posto a un 2.
Non hai sbagliato i calcoli, Sergio: perfetto
(Bruno)
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Re: Trovar posto a un 2.
Unica cosa da segnalare Bruno,
un numero di n+1 uni sarebbe $\frac{10^{n+2}-1}{9}$
a questo devo poi aggiungere $10^k$ per trasformare un uno in un due,
in modo tale da averlo inserito al numero di partenza (-;
un numero di n+1 uni sarebbe $\frac{10^{n+2}-1}{9}$
a questo devo poi aggiungere $10^k$ per trasformare un uno in un due,
in modo tale da averlo inserito al numero di partenza (-;
Re: Trovar posto a un 2.
Grazie, Info: un numero di $n$ cifre uguali a $1$ è dato da $\frac{10^n-1}{9}$
Infatti, Sergio è partito da un numero di $2021$ cifre ma, prima di aggiungere un $1$ per collocare il $2$, ha correttamente portato quel numero a $2022$ cifre.
Infatti, Sergio è partito da un numero di $2021$ cifre ma, prima di aggiungere un $1$ per collocare il $2$, ha correttamente portato quel numero a $2022$ cifre.
(Bruno)
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Re: Trovar posto a un 2.
Si, hai ragione.... avevo pensato ad un $\frac{10^{2023}-1}{9}$ ma effettivamente
sarebbe una sequenza di 2023 uno, anche se dell'ordine di $10^{2022}$
sarebbe una sequenza di 2023 uno, anche se dell'ordine di $10^{2022}$
Re: Trovar posto a un 2.
Troppo forti
Propongo di seguito una variante più semplice:
fra tutte le sequenze di 1 lunghe da 4 a 1000, è possibile trovarne qualcuna in cui inserire un 7 in opportuna posizione, in modo che la sequenza sia divisibile per 4321 ?
In caso positivo, indicare la sequenza con la posizione del 7.
Propongo di seguito una variante più semplice:
fra tutte le sequenze di 1 lunghe da 4 a 1000, è possibile trovarne qualcuna in cui inserire un 7 in opportuna posizione, in modo che la sequenza sia divisibile per 4321 ?
In caso positivo, indicare la sequenza con la posizione del 7.
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$\text { }$ciao ciao
E' la somma che fa il totale (Totò)
$\text { }$ciao ciao
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Re: Trovar posto a un 2.
Ce ne sono 119
La più breve è 111111111111111111111111111111111111111111117111111111111111111111111111111111
La più breve è 111111111111111111111111111111111111111111117111111111111111111111111111111111
[Sergio] / $17$
Re: Trovar posto a un 2.
Giusto...sono davvero tante !
Tuttavia, cambiando il divisore 4321 con altro anche di 4 cifre, è possibile trovarne qualcuno, tale che le soluzioni siano molto più numerose?
Quale potrebbe essere il divisore vincitore, fautore del maggior numero di soluzioni ?
Tuttavia, cambiando il divisore 4321 con altro anche di 4 cifre, è possibile trovarne qualcuno, tale che le soluzioni siano molto più numerose?
Quale potrebbe essere il divisore vincitore, fautore del maggior numero di soluzioni ?
Ultima modifica di Pasquale il mar ott 05, 2021 7:10 pm, modificato 1 volta in totale.
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$\text { }$ciao ciao
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Re: Trovar posto a un 2.
Fino a 500 cifre vince 4093 con 506 risultati, io punterei su di lui
[Sergio] / $17$
Re: Trovar posto a un 2.
Faccio un passo indietro
Possiamo dire che esistono numeri di questo tipo con il 7 in testa (cioè $\,$ 7111···111) e divisibili per 4321: $\,$ è così ?
Possiamo dire che non ne esiste nemmeno uno con il 7 in coda, invece, il quale sia divisibile per 4321: $\,$ perché ?
(Bruno)
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