Si consideri un cerchio di raggio $R=3438$ e si suddivida l'arco di ampiezza 90° in 24 parti. Al primo angolo (di 3°45') si assegni un valore $a_1=225$.
I valori successivi vengono poi calcolati con il seguente metodo ricorsivo: avendo definito
$\displaystyle S_i=\sum_{j=1}^i a_i$
si pone:
$a_{i+1}=a_i+a_1-\frac{S_i}{a_1}$ (*)
Così facendo, si trova una sequenza $a_i,\,i=1,\dots,24$, tale per cui $a_i/R$ dà (approssimativamente) il valore dell'angolo corrispondente: per esempio, al quarto angolo (pari a 15°) il metodo indiano dà $a_4 \approx 890$, cosicché $a_4/R \approx 0.258879 \approx \sin(15°) \approx 0.258819$.
Bello! Però rimangono dei dubbi:
- Come funziona il metodo indiano e perché dà risultati esatti?
- Si potrebbe migliorare l'approssimazione cambiando l'equazione (*)?
- Il metodo si può estendere ad altre funzioni trascendenti di uso comune?
Buona domenica a tutti
Zerinf
[1] "La matematica e la sua storia, vol. II - Dal tramonto greco al Medioevo", di B. D'Amore e S. Sbaragli, ed. Dedalo 2018.
(*) Nota bene: nel libro di D'Amore vi è un errore di battitura, dove al posto di $a_1$ a denominatore nella frazione dell'eq. (*) è indicato $a_i$.