Ciao a tutti
mi hanno proposto un problemino e siccome ho dato la risposta di botto sono riuscito a sbagliarlo, poi con calma ci ho ripensato e ho dato la risposta giusta . Morale : la matematica non si fa in fretta ma bisogna ragionare e pensare bene.
Vi ripropongo il problema con alcune varianti .
Un gruppo di amici si ritrova e tutti stringono le mani a tutti in totale ci sono 66 strette di mano ; quante erano gli amici che si sono stretti la mano.
Variante 1) 10 copie di sposi si ritrovano ad una festa; ogni persona strige la mano a tutti i presenti tranne al proprio compagno
quante strette di mano si sono dati ?
Variante 2) ad un quadrangolare di calcio con squadra di 11 giocatori( non contiamo le riserve) ogni giocatore da la mano a tutti i giocatori delle squadre avversarie tranne ai componenti della propria squadra ;quante strette di mano si sono dati ?
Variante 3) generalizzando N gruppi con lo stesso numero di K persone strige la mano a tutti tranne ai componenti del proprio gruppo ; quante strette di mano si sono date ?
Variante 4) come per la Variante 3 ma i gruppi hanno numeri diversi di persone
Una stretta di mano a tutti i BASECINQUINI
Le strette di mano
Moderatori: Gianfranco, Bruno
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Re: Le strette di mano
Parto dal caso più generale.
Ci sono $k$ gruppi con $n_{ \small 1 }, n_{ \small 2 }, \ldots, n_{ \small k }$ persone; ciascuno stringe la mano a tutti quelli che non sono fanno parte del suo gruppo quindi vi sono $\sum_{ \small i } { n_{ \small i } \left( n - n_{ \small i } \right) }$ persone che si stringono la mano.
Ci vogliono due persone per ogni stretta di mano: il numero totale di strette di mano è
$\displaystyle S = \frac { \sum_{ \small i } { n_{ \small i } \left( n - n_{ \small i } \right) }} 2 = \frac { n^{ \small 2 } - \sum_{ \small i } { n_{ \small i }^{ \small 2}}} 2$
Specializziamo il risultato: se tutti i gruppi hanno lo stesso numero di persone, $n_{ \small 0 }$, allora
$\displaystyle S = n_{ \small 0 }^{ \small 2}\frac { k\, \left( k - 1 \right) } 2$
Specializziamo ancora:
quadrangolare
$\displaystyle \begin{array}{lC} n_{ \small 0 } = 11 \\ k = 4 \\ S = 11^{ \small 2}\frac { 4\, \left( 4 - 1 \right) } 2 = 726 \end{array}$
sposi
$\displaystyle \begin{array}{lC} n_{ \small 0 } = 2 \\ k = 10 \\ S = 2^{ \small 2}\frac { 10\, \left( 10 - 1 \right) } 2 = 180 \end{array}$
amici
$\displaystyle \begin{array}{lC} n_{ \small 0 } = 1 \\ \frac { k\, \left( k - 1 \right) } 2 = 66 \\ k = 12 \end{array}$
Ci sono $k$ gruppi con $n_{ \small 1 }, n_{ \small 2 }, \ldots, n_{ \small k }$ persone; ciascuno stringe la mano a tutti quelli che non sono fanno parte del suo gruppo quindi vi sono $\sum_{ \small i } { n_{ \small i } \left( n - n_{ \small i } \right) }$ persone che si stringono la mano.
Ci vogliono due persone per ogni stretta di mano: il numero totale di strette di mano è
$\displaystyle S = \frac { \sum_{ \small i } { n_{ \small i } \left( n - n_{ \small i } \right) }} 2 = \frac { n^{ \small 2 } - \sum_{ \small i } { n_{ \small i }^{ \small 2}}} 2$
Specializziamo il risultato: se tutti i gruppi hanno lo stesso numero di persone, $n_{ \small 0 }$, allora
$\displaystyle S = n_{ \small 0 }^{ \small 2}\frac { k\, \left( k - 1 \right) } 2$
Specializziamo ancora:
quadrangolare
$\displaystyle \begin{array}{lC} n_{ \small 0 } = 11 \\ k = 4 \\ S = 11^{ \small 2}\frac { 4\, \left( 4 - 1 \right) } 2 = 726 \end{array}$
sposi
$\displaystyle \begin{array}{lC} n_{ \small 0 } = 2 \\ k = 10 \\ S = 2^{ \small 2}\frac { 10\, \left( 10 - 1 \right) } 2 = 180 \end{array}$
amici
$\displaystyle \begin{array}{lC} n_{ \small 0 } = 1 \\ \frac { k\, \left( k - 1 \right) } 2 = 66 \\ k = 12 \end{array}$
il panurgo
Principio di Relatività: $\mathbb{m} \not \to \mathbb{M} \, \Longleftrightarrow \, \mathbb{M} \not \to \mathbb{m}$
"Se la montagna non va a Maometto, Maometto NON va alla montagna"
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