È e non è.
Moderatori: Gianfranco, Bruno
Questo forum è una sezione del PORTALE DI BASE CINQUE
È e non è.
Se il numero $\; m256 \;$ è un quadrato, allora $\,m\,$ è pari e non ha la forma $\; 3\cdot k+1$.
(Bruno)
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Invisibile un vento
l'ha apena sfioragia
sospension d'un momento;
e la bola iridessente gera 'ndagia.
{Biagio Marin}
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Meglio soluzioni sbagliate che risposte esatte.
{Rudi Mathematici}
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Re: È e non è.
se m è 4 è 3*1+1 ed è pari, il risultato è un quadrato, 1024=256*4
Re: È e non è.
m256 è una concatenazione, non un prodotto.
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Re: È e non è.
✓m256=✓(m*1000+256)=✓(m*4+1)*16
da dimostrare che sia intero e rispecchi la regola che hai dato.... oggi ci penso
da dimostrare che sia intero e rispecchi la regola che hai dato.... oggi ci penso
Re: È e non è.
Forse la risposta è nel quesito posto nella Sezione "Questioni Tecniche del Forum" .
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$\text { }$ciao ciao
E' la somma che fa il totale (Totò)
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E' la somma che fa il totale (Totò)
Re: È e non è.
È giunto correttamente il tuo messaggio, Pasquale, e ti ringrazio moltissimo per avermi segnalato il refuso
(Bruno)
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Re: È e non è.
(Ultima versione riveduta e corretta in alcune parti)
In prima battuta, un paio di domande:
1) Un numero N = m256 (col significato di m come dichiarato nel testo) può essere un quadrato?
2) Se N è un quadrato così come sopra, ‘ m ‘ può essere un numero pari, o meglio certamente e sempre pari?
A questo punto, pongo: N = m256 = m*1000 +256 = quadrato
Quindi possiamo affermare che N è un quadrato se con ‘a’ intero:
$1000m = a^2 + 32a$ , perché: $a^2 + 32a + 256 = (a + 16)^2$
Dunque, dalla relazione: $m = \frac{a^2 + 32a}{1000}$, se esistono, bisogna trarre i valori di ‘a’ che rendono ‘m’ intera.
Per tali valori di ‘m’ il nostro N = m256 è certamente un quadrato.
Allora, se:
a(a+32) = 1000m, posso scrivere:
3) $a + 32 = \frac {1000m}{a}$
se a=1000, m = 1032 è uno dei valori che cerchiamo ( 1032256 = 1016^2 ).
Altri valori di m validi, che rendono cioè quadrato m256, sono tutti quelli che con riferimento alla 3) discendono da valori di ‘a’ divisori di ‘m’.
Prenderò in esame i divisori di m, scrivendo:
4) m = ka:
5)$ a + 32 = \frac{1000ka}{a}$, da cui :
6) a = 1000k –32
7) m = k(1000k –32)
dalla quale per ogni k>=1 possiamo ricavare un insieme infinito, parte degli infiniti quadrati m256 ( es: per k = 1111; m = 1234285448; N = 1234285448256 = 1110984^2 )
Nei casi esaminati, la 7) risponde positivamente ed in modo evidente al punto 2), visto che il valore in parentesi è sempre pari, e per quanto riguarda il punto 1), se mi è riuscito di costruire dei quadrati che terminano con 256, vuol dire che esistono: non sono tutti quelli esistenti e dunque non sono certo di aver dato una risposta completa.
Infine: è possibile che m = k(1000k –32) abbia una forma del tipo 3x+1 ?
Per rispondere all’ultimo quesito, con riferimento alla 7), dovrebbe essere vero che:
k(1000k –32) – 1 = 3x
1000k^2 – 32k – 1 = 3x
Esprimendo l'ultima equazione in MOD 3 (spero sia lecito e di non sbagliare):
k^2 – 2k +2 = 0 ( non ha soluzioni reali e dunque 'm' non è divisibile per 3 )
In prima battuta, un paio di domande:
1) Un numero N = m256 (col significato di m come dichiarato nel testo) può essere un quadrato?
2) Se N è un quadrato così come sopra, ‘ m ‘ può essere un numero pari, o meglio certamente e sempre pari?
A questo punto, pongo: N = m256 = m*1000 +256 = quadrato
Quindi possiamo affermare che N è un quadrato se con ‘a’ intero:
$1000m = a^2 + 32a$ , perché: $a^2 + 32a + 256 = (a + 16)^2$
Dunque, dalla relazione: $m = \frac{a^2 + 32a}{1000}$, se esistono, bisogna trarre i valori di ‘a’ che rendono ‘m’ intera.
Per tali valori di ‘m’ il nostro N = m256 è certamente un quadrato.
Allora, se:
a(a+32) = 1000m, posso scrivere:
3) $a + 32 = \frac {1000m}{a}$
se a=1000, m = 1032 è uno dei valori che cerchiamo ( 1032256 = 1016^2 ).
Altri valori di m validi, che rendono cioè quadrato m256, sono tutti quelli che con riferimento alla 3) discendono da valori di ‘a’ divisori di ‘m’.
Prenderò in esame i divisori di m, scrivendo:
4) m = ka:
5)$ a + 32 = \frac{1000ka}{a}$, da cui :
6) a = 1000k –32
7) m = k(1000k –32)
dalla quale per ogni k>=1 possiamo ricavare un insieme infinito, parte degli infiniti quadrati m256 ( es: per k = 1111; m = 1234285448; N = 1234285448256 = 1110984^2 )
Nei casi esaminati, la 7) risponde positivamente ed in modo evidente al punto 2), visto che il valore in parentesi è sempre pari, e per quanto riguarda il punto 1), se mi è riuscito di costruire dei quadrati che terminano con 256, vuol dire che esistono: non sono tutti quelli esistenti e dunque non sono certo di aver dato una risposta completa.
Infine: è possibile che m = k(1000k –32) abbia una forma del tipo 3x+1 ?
Per rispondere all’ultimo quesito, con riferimento alla 7), dovrebbe essere vero che:
k(1000k –32) – 1 = 3x
1000k^2 – 32k – 1 = 3x
Esprimendo l'ultima equazione in MOD 3 (spero sia lecito e di non sbagliare):
k^2 – 2k +2 = 0 ( non ha soluzioni reali e dunque 'm' non è divisibile per 3 )
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Re: È e non è.
I tuoi passaggi, Pasquale, non sono mai banali
Eventualmente, per la prima parte, si potrebbe osservare che, se m256 = □, allora deve esserlo pure m·250+64 = □.
Ma questo significa che anche il primo membro dell'ultima uguaglianza è divisibile per 4 (il quadrato di un numero pari lo è sempre) e perciò m deve essere pari, dal momento che 250 non è divisibile per 4.
Riguardo all'ultima parte, Pasquale, in realtà esistono infiniti valori attribuibili a m che sono divisibili o non divisibili per 3. Nessuno di essi ha però la forma indicata.
(Pasquale, ho cancellato i post estranei.)
Eventualmente, per la prima parte, si potrebbe osservare che, se m256 = □, allora deve esserlo pure m·250+64 = □.
Ma questo significa che anche il primo membro dell'ultima uguaglianza è divisibile per 4 (il quadrato di un numero pari lo è sempre) e perciò m deve essere pari, dal momento che 250 non è divisibile per 4.
Riguardo all'ultima parte, Pasquale, in realtà esistono infiniti valori attribuibili a m che sono divisibili o non divisibili per 3. Nessuno di essi ha però la forma indicata.
(Pasquale, ho cancellato i post estranei.)
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Re: È e non è.
Se il numero m256 è un quadrato, allora m è pari e non ha la forma 3·k+1.
Pasquale, complimenti per la soluzione!
Ecco la mia tardiva proposta. Ho cercato una soluzione assolutamente elementare.
Uso un po' di aritmetica modulare senza dare troppe spiegazioni.
Ipotesi: m256 è un quadrato.
Tesi 1: $m$ è pari.
Tesi 2 : $m$ non è del tipo $3k+1$.
Osserviamo che l'ipotesi equivale a:
$1000m+256=a^2$
$m, a, k$ indicano numeri naturali (o interi)
--------------------
Tesi 1.
Usiamo:
$1000m+256=a^2$
Supponiamo per assurdo che $m$ sia dispari, cioè:
$m=2k+1$
Allora:
$2000k+1000+256=a^2$
$2^3(250k+157)=a^2$
Osserviamo che l'espressione in parentesi ha valore dispari perciò non può contenere il fattore $2$ necessario a trasformare $2^3$ in $2^4$.
Quindi $2^3(250k+157)$ non può essere un quadrato.
CVD
--------------------
Tesi 2.
Usiamo:
$1000m+256=a^2$
da cui:
$1000m=a^2-256$
Osserviamo che, per ogni $a$, si ha che:
$a^2 \bmod 3 = {0; 1}$
da cui:
$a^2-256 \bmod 3 = {0; 2}$
Quindi deve essere:
$1000 m \bmod 3 = m \bmod 3 = {0; 2}$
CVD
Pasquale, complimenti per la soluzione!
Ecco la mia tardiva proposta. Ho cercato una soluzione assolutamente elementare.
Uso un po' di aritmetica modulare senza dare troppe spiegazioni.
Ipotesi: m256 è un quadrato.
Tesi 1: $m$ è pari.
Tesi 2 : $m$ non è del tipo $3k+1$.
Osserviamo che l'ipotesi equivale a:
$1000m+256=a^2$
$m, a, k$ indicano numeri naturali (o interi)
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Tesi 1.
Usiamo:
$1000m+256=a^2$
Supponiamo per assurdo che $m$ sia dispari, cioè:
$m=2k+1$
Allora:
$2000k+1000+256=a^2$
$2^3(250k+157)=a^2$
Osserviamo che l'espressione in parentesi ha valore dispari perciò non può contenere il fattore $2$ necessario a trasformare $2^3$ in $2^4$.
Quindi $2^3(250k+157)$ non può essere un quadrato.
CVD
--------------------
Tesi 2.
Usiamo:
$1000m+256=a^2$
da cui:
$1000m=a^2-256$
Osserviamo che, per ogni $a$, si ha che:
$a^2 \bmod 3 = {0; 1}$
da cui:
$a^2-256 \bmod 3 = {0; 2}$
Quindi deve essere:
$1000 m \bmod 3 = m \bmod 3 = {0; 2}$
CVD
Pace e bene a tutti.
Gianfranco
Gianfranco
Re: È e non è.
Ottimo, Gianfranco, perfetto
MI associo ai tuoi complimenti per l'approccio di Pasquale.
MI associo ai tuoi complimenti per l'approccio di Pasquale.
(Bruno)
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