abbeverata del cavallo

[ronfo]

Ciao a tutti
nel mio quotidiano ficcanasare ho trovato un interessante problema di minimo risolto in modo semplice ed efficace.
Un tale , nell'allegato posto in A, deve recarsi in città posta in B , prima però deve abbeverare il cavallo recandosi al fiume che , in questo caso ha un percorso rettilineo;
per calcolare il percorso minimo è sufficiente ricordare che la figura simmetrica rispetto al fiume del triangolo AED , cioè il triangolo CED, ha le stesse dimensioni , e che il percorso più breve da B a C è proprio il segmento BC , per fare meno strada possibile il tizio dovrà seguire il tragitto ADB, in quanto AD e CD si equivalgono.
Quando però si parla di percorsi non rettilinei le cose non mi sembrano così semplici ; nel caso di una conica (parabola , ellisse ... ecc) come il semicerchio da me indicato nella figura a lato esiste un metodo geometrico altrettanto semplice oppure bisogna procedere per via analitica ?
Un grazie anticipato per la soluzione
e buona giornata a tutti

fiume.jpg (40.83 KiB) Visto 9452 volte

[delfo52]

e se la velocità del cavallo assetato fosse diversa da quella del cavallo dopo che ha bevuto?

[Massimo]

Il secondo disegno non rende giustizia alla complessità del problema in quanto B potrebbe benissimo trovarsi più distante.

Se l'obiettivo è gestire qualsiasi curva allora la vedo dura.
Se semplifichiamo il problema in una spezzata formata da N tratti volti ad approssimare la curva ci riconduciamo ad N casi come il primo.

[Gianfranco]

Ho fatto una simulazione EMPIRICA con DG Interactive Geometry, ecco un esempio.

cavallo1.png (15.79 KiB) Visto 9430 volte

Il tale deve andare da D a E passando per C posto su una circonferenza.
A è il centro della circonferenza.
Il tragitto più corto (empiricamente) si ha quando la retta AC è bisettrice dell'angolo DCE. Non ho alcuna dimostrazione.

Se la circonferenza fosse uno specchio, il percorso sarebbe quello di un raggio di luce DC riflesso esattamente su E. Se è vero che la luce percorre il tragitto più corto...

Ci sono situazioni in cui il cavallo deve attraversare il fiume (???)

[panurgo]

Caro Gianfranco, basta ruotare il tuo disegno, aggiungere la tangente in $\text{C}$ e l'immagine di $\text{D}$ per ottenere un risultato analogo a quello proposto da ronfo nella parte sinistra della sua figura

panurgoAbbDelCav002.png (10.02 KiB) Visto 9423 volte

Ovviamente la semiretta $\text{AC}$ è perpendicolare alla tangente e quindi bisettrice dell'angolo $\text{DCE}$. Penso che per un arco di cerchio sia fattibile una soluzione sintetica (ci penserò).

Per una curva analitica qualsiasi, la tangente in $\text{C}$ ha equazione

$\displaystyle y=f\left(x_{\text C}\right)+f'\left(x_{\text C}\right)\left(x-x_{\text C}\right)$

con un bel po' di algebra si possono calcolare le coordinate del punto immagine e imporre la condizione di allineamento di $\text{D}'$, $\text{C}$ e $\text{E}$

$\displaystyle \frac {x_{\text C} - x_{\text{D}'}} {x_{\text E} - x_{\text{D}'}}=\frac {f\left(x_{\text C}\right) - y_{\text{D}'}} {y_{\text E} - y_{\text{D}'}}$

ottenendo una bella equazione differenziale in $x_{\text C}$, $f\left(x_{\text C}\right)$ e $f'\left(x_{\text C}\right)$...

[vittorio]

Ciao a tutti.
A livello intuitivo ho fatto alcune considerazioni che desidero sottoporvi.
Supponiamo innanzitutto che il tragitto AFB abbia lunghezza costante, vale a dire che AF+FB=k.
Per k>AB il punto F appartiene dunque all'ellisse di fuochi A e B. All'aumentare di k si ottengono delle ellissi via via crescenti e tali che ciascuna contiene le precedenti. Ad un certo punto si troverà una ellisse tangente al cerchio: il punto di tangenza F è qundi la soluzione cercata.
Nella figura 1) sono rappresentate:
a) una ellisse troppo piccola;
b) l'ellisse tangente al cerchio che risolve il problema;
c) una successiva ellisse troppo grande.

cavallo1.jpg (42.63 KiB) Visto 9396 volte

La figura 2) mostra invece come il metodo sia applicabile anche al problema originario del fiume rettilineo.

cavallo2.jpg (30.52 KiB) Visto 9396 volte

Chiedo scusa per il linguaggio intuitivo e non sempre appropriato; ripeto che non si tratta di una dimostrazione ma semplicemente di una proposta di soluzione.
Nel caso del fiume rettilineo il punto F può essere ottenuto con riga e compasso in quanto algebricamente si può ricondurre alla soluzione di una equazione di secondo grado.
Nel caso del fiume con ansa il problema è riconducibile alla soluzione di una equazione di quarto grado e quindi la costruzione con riga e compasso non sarà in generale possibile.

Il metodo proposto si può applicare ovviamente ad altre forme del corso del fiume.

Ciò che ho scritto andrebbe rivisitato rigorosamente.

Ciao
Vittorio.