Problemino di terza media

[fabtor]

come da oggetto questo è un problemino da terza media, quindi è da risolvere senza l'aiuto della trigonometria, ma facendo un po' di ginnastica mentale:

Data una circonferenza di raggio noto ed un suo angolo al centro che insiste sull'arco AB determinare l'area del segmento circolare primario con vertici A e B nell'ipotesi che l'angolo al centro abbia un'ampiezza pari a 30°.

[Info]

la circonferenza e` 2*pi*r, siccome 30 gradi rispetto ai 360 sono 1/12, la soluzione e`sicuramente pi*r/6

[Ivana]

Info, credo che, dopo aver calcolato, come tu hai fatto, la misura dell'arco AB, si debbano calcolare l'area del settore circolare (basta applicare la formula:
Area= (lunghezza dell'arco*raggio)/2) e l'area del triangolo OAB, in modo da calcolare infine l'area del segmento circolare (area che è data dalla differenza fra l'area del settore circolare che insiste sullo stesso arco di circonferenza e l'area del triangolo OAB).
In terza media i ragazzi conoscono il rapporto "costante" tra il raggio e il lato del dodecagono regolare inscritto?

Credo che per "settore circolare primario" s'intenda quello in cui la lunghezza dell'arco è minore della lunghezza della semicirconferenza...

[Info]

si scusa.... ho letto il testo un po' di fretta e mi sono fermato all'arco di circonferenza....
credo che effettivamente sia da calcolare la differenza fra l'area del triangolino e l'area del settore circolare.

Per il dodecagono uno potrebbe pensare che ogni due triangolini siano in realta`un parallelogramma di lati r e AB
ma comunque mi servirebbe la trigonometria per avere l'altezza del parallelogramma....

[Ivana]

È consentito ai ragazzi di terza media l'uso della formula :
$lato del dodecagono = (r/2)*(sqrt(6) - sqrt(2))$

[Ivana]

Posso calcolare l'area del triangolo OAB così:
(r*(r/2))/2
considerando come base OB e come altezza AH (che misura la metà del lato dell'esagono regolare inscritto, quindi misura la metà del raggio)

Ora la risoluzione finale è davvero semplice...

[fabtor]

In effetti bastava considerare il settore circolare dell'angolo doppio a quello dato e sottrargli l'area del romboide relativo che ha, per costruzione, le diagonali congruenti al raggio e poi dividere per 2, cmq anche la soluzione di Ivana,mi pare sia analoga (come al solito ).

P.S. per segmento primario intendevo quello ad una base.

[Ivana]

Io avevo focalizzato l’attenzione sul triangolo OAB alla ricerca di un modo alternativo per calcolarne l’area… Tracciando l’altezza relativa alla base OB e prolungandola fino a raggiungere il punto C della circonferenza e congiungendo C con O ottenevo il triangolo equilatero OAC, per cui ho pensato immediatamente che AC rappresentava il lato dell’esagono inscritto e l’altezza AH era metà del lato dell’esagono inscritto e, quindi, metà del raggio…
Riguardo al segmento circolare, in questo problema specifico, la corda AB definisce due segmenti circolari (entrambi a una base, che è in comune), per cui ho ritenuto che venisse chiamato “primario” quello in cui la lunghezza dell’arco di circonferenza è minore della lunghezza della semicirconferenza…
Nei testi scolastici da me conosciuti e usati mai ho letto il termine “primario”, per cui penso sia una novità dei testi attuali (è così? Io, ormai, non sono più in servizio; credo che tu, invece, lo sia ancora...) e siccome una stessa corda definisce due segmenti circolari supponevo che i matematici avessero deciso di chiamare “primario” il segmento circolare in cui la lunghezza dell’arco è minore della lunghezza della semicirconferenza e “secondario” l’altro segmento circolare in cui la lunghezza dell’arco è maggiore della lunghezza della semicirconferenza.

[Dani Ferrari]

Forse ho sbagliato... sono all'UCAS, non a Base5. Dico, un settore è l'area di cerchio compresa fra due raggi e l'arco di circonferenza fra loro (non lo sapevate?). Dato che l'angolo giro è di 360°, un settore di 30° ha un'area pari a 1/12 dell'area deal cerchio (lo sapete quant'è l'area del cerchio?). Che cavolo c'entrano i triangoli, i dodecagoni...?

Dani

[Ivana]

Dani, riguardo all'area del SETTORE circolare hai ragione, non era il caso che io accennassi alla formula nota...comunque, già Info aveva evidenziato subito che per trovare la misura dell'arco bastava dividere la misura della circonferenza per 12.
Però mi pare che tu faccia confusione tra SETTORE CIRCOLARE e SEGMENTO CIRCOLARE!!!
http://it.wikipedia.org/wiki/Segmento_circolare

La parte di cerchio colorata in rosso rappresenta il "segmento circolare primario".
La parte di cerchio colorata in blu rappresenta il "settore circolare". Chiaro?

[Ivana]

Per Dani
Come ripeto (Repetita iuvant!): L'area del segmento circolare primario (visualizzabile nell'immagine da me inserita precedentemente e colorato in rosso) è data dalla differenza fra l'area del settore circolare che insiste sullo stesso arco di circonferenza e l'area del triangolo OAB.
(Ovviamente in tal modo viene calcolata nella scuola secondaria di primo grado e anche nella scuola primaria avendo, però, dei dati in più quali, per esempio, l'area del settore circolare e la base e l'altezza del triangolo OAB)

Avendo già spiegato a parole la risoluzione, ritenevo superflua la risoluzione con i simboli matematici, ma per evitare ulteriori fraintendimenti:

$Area \; del \; segmento \; circolare=\frac{r^{2}(\pi -3)}{12}$

[Ivana]

Per Fabtor

Dopo aver svolto ricerche varie, sono giunta (almeno finora!) alla conclusione che la terminologia "segmento circolare primario" molto probabilmente dipenda soltanto da qualche testo di riferimento (testo, o testi che non conosco). Tale terminologia si trova, forse, nel testo scolastico in uso nella tua classe terza di scuola secondaria di primo grado? È così? Chi è l'autore (o chi sono gli autori) di tale/i testo/i?

[Ivana]

Fabtor, ci sei?

[fabtor]

In realtà avevo trovato la dicitura "segmento circolare Primario" come sinonimo di "segmento circolare ad una base" e la dicitura di "segmento circolare secondario" per quello a 2 basi (cioè delimitato da 2 corde parallele) nella rete, ma ricordo solo che la cosa veniva giustificata dal fatto che "il Secondario" lo si trovava per differenza dall'area del cerchio - i 2 "primari" corrispondenti.

Sinceramente, non ho mai verificato se fosse una neo-terminologia dell'autore o una terminologia desueta utilizzata dallo stesso, tuttavia oltre a trovare la giustificazione addotta "abbastanza convincente", ho sperimentato che il suo utilizzo opportunamente motivato "rende la vita più semplice" ai ragazzi nel ricordarsi il procedimento per il calcolo del segmento a due basi (anche se di solito la uso solo "a scopo divulgativo"). Quando ho scritto ero probabilmente un po' stanco è senza pensarci troppo ho usato la terminologia non "ortodossa".

Per farmi perdonare ripropongo lo stesso problema, ma con angolo al centro di 150°. Naturalmente vale la stessa regola del caso precedente: niente trigonometria . (Naturalmente ora il tutto è molto più banale...)

[Ivana]

Grazie per la tua risposta...
Se hai sperimentato che tale terminologia funziona con gli alunni, ok...
Con l'angolo al centro di 150°penso si possa considerare il rettangolo, trovare la misura della corda con il teorema di Pitagora ecc.
Appena posso preparerò velocemente un'immagine, ma lascerò calcoli e simboli matematici a un eventuale volenteroso...


Inserisco il link:
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