Radice 2 NON è un irrazionale

[modulocomplicato]

WOW BENE:

"Mi sembra di capire che il "modulo complicato"sia algebra modulare"
si esatto !

" dove è il modulo ad essere incognito, ma espresso sotto forma d'equazione e"

Quasi: Il modulo ha forma nota e valore variabile ad ogni giro dell'orologio.
Nel caso delle potenze è una particolare funzione di grado n-1:

Mn= X^n-(X-1)^n ,

in grado di affettare esattamente le potenza di grado n con fette di valore intero, ma via via più grandi ad ogni taglio (secondo la legge di rcescita Mn)

" che la divisione del quadrante dell'orologio sia legato al numero di cicli con i quali occorre ripetere l'algoritmo per avere una radice ennesima a potenza non esattamente ennesima sotto forma di aritmetica modulare."

Si, il numero di divisioni cambia ad ogni giro:

Ad esempio per n=2 (quadrati): X^2-(X-1)^2 = 2X-1
1° giro x=1, numero di divisioni M2= 2x-1 = 1
2° giro x=2, numero di divisioni M2= 2x-1 = 3
3° giro x=3, numero di divisioni M2= 2x-1 = 5
etc...

1+3+5=9 = 3^2...


Ad esempio per n=3 (cubi): X^3-(X-1)^3 = 3X^2-3X+1
1° giro x=1, numero di divisioni M3= 3X^2-3X+1 = 1
2° giro x=2, numero di divisioni M3= 3X^2-3X+1 = 7
3° giro x=3, numero di divisioni M3= 3X^2-3X+1 = 19
etc...

1+7+19= 27 = 3^3

Partendo da un numero P in esame e facendo il procedimento inverso di sottrazione ricorsiva (come descritto nei precedenti post) è possibile estrarre la radice n-esima,

Se il numero P in esame è una potenza di interi ad un certo punto nella sottrazione ricorsiva ci sarà resto zero.

Il valore di x che rende il resto pari a zero è la radice cercata.

Se P non è una potenza di intero (o è un n diverso da quello utilizzato) succederà che per un certo x il resto R è minore del valore assunto da Mn al giro x+1, quindi l'algoritmo si arresta.

L'ultima partizione dell'orologio (il numero di tacche riportate sul quadrante digitale) è quindi

Mn = (x^n-(x-1)^n)

con quell'x che fornisce resto zero, o positivo, ma non sifficiente a far fare un'altro giro completo d'orologio se P non è una potenza di interi, cioè un p^n, con l'n che stiamo usando.

Ora quello che è davvero molto interessante e che questo processo porta, riducendo x ad una frazione ad un calcolo con precisione a piacere e, passando al limite, da origine all'integrale definito...

Quello che bolle sotto è ancora più stupefacente, in quanto nessuno ci vieta di usare e modulare funzioni complicatissime, quindi trovarne l'integrale, ma anche di mettere in gioco i numeri complessi...

Le relazioni che si hanno consentono di capire "cose" che "lo spiattellamento" nel piano cartesiano x-y di funzioni di grado n>2 fa scomparire...

Quest'algebra, infatti, costringe numeri o funzioni in uno spazio di dimensione
pari a quello della funzione in esame (P^n nel caso delle potenze) e quindi detta regole ferree, facilmente intuibili, sull'accrescimento dei valori secondo quella determinata funzione:

Se una potenza di interi è di grado 3 (un cubo) essa cresce in 3 dimensioni

e non può farlo in sole 2 dimensioni.

Cioè in 2 dimensioni utilizzando solo gli interi non si possono rappresentare tutti i numeri e le relazioni che esistono fra i vari x^3 (interi elementi posizionati in modo "rigido" di un elenco ordinato, infinito)

a meno che non si accetti di utilizzare una nuova dimensione che è quella che caratterizza i numeri con la virgola (irrazionali, in questo caso).

Il fatto che utilizzando i numeri con la visgola si possa dare soluzione per qualsiasi n è data dal fatto che passando agli infintesimi scompaiono quelli di ordine superiore e quindi il problem si riduce sempre ad un problema in 2 variabili una intera una infinitesima.

Non lo trovate come minimo interessante ? Anche solo per il fatto che puoi spiegare a tutti 'na roba fino ad ora "elitaria"...

(sproloquio:)
Questa è la dimostrazione dell'UTF in parole semplici. Ci sto lavorando per renderla presentabile ed accettabile...

E analogamente si spiegano tutti gli altri "grandi" problemi, cioè tutti quelli per cui mancando uno strumento "così potente" si restava a bocca aperta... Goldbach, Riehman, etc... tutti problemi che riguardano elenchi ordinati, ed infiniti, di numeri in cui il numero di relazioni "autentiche" o "non linearmente dipendenti" è pari al numero di variabili indipendenti del problema...

Per Goldbach una variabile: la distanza fra due punti su una retta (2p) o nello spazio (fra due primi),

Per gli zeri di Rieman 2 variabili:

- cioè le condizioni necessarie al fine di stabilire che P sia un primo,

cioè che P sia un numero il cui quadrato è tale per cui il rapporto P!/P^2 sia un non intero

Quindi uno zero nel paesaggio tridimensionale (P, P^2, P!/P^2)....

Questo è il mio analogo del paesaggio z di RH.
La grandissima potenza della mente di RH sta nell'aver utilizzato i complessi (che guarda caso sono numeri a due variabili indipendenti, infatti l'analogo di (2x-1) che guarda caso mette in gioco i quadrati..

Ovviamente comprendere il raccordo fra i due paesaggi richiede un'analisi un po' ostica del comportamento di una funzione complessa (così complicata), rispetto al comportamento di un modulo (2x-1).

Il concetto è che ogni termine del modulo complicato si comporta come una variabile libera o se vuoi un nuovo asse nello spazio...

Quindi M3= 3x^2-3x+1 ha 3 variabili che potremmo chiamare x,y e z...

Va da se che se dimostro che C^n-B^n è funzione di sole due variabili (come ho fatto) non potrà trovare soluzioni intere in spazi a più di 2 variabili (quindi quadrati).

Ma ovviamente in nessun altro spazio che non abbia esattamente 2 varabili (es. n=1...)

Quì serve capacità d'astrazione a stecca e tanto lavoro sui numeri ed esempi...

[modulocomplicato]

Sono riuscito a far fuggire tutti ?

[Pasquale]

Non ti preoccupare, gli usi e costumi di Base5 prevedono anche un anno di vita per ogni argomento postato; si vede che in questo momento ci troviamo in una fase riflessiva.
I vecchietti del forum non sono pochi e quando si raggiunge una certa età, si cerca di controllare il tempo, provando a rallentarlo per allungare la vita media (1s=3s), anche perché gli studiosi hanno ormai stabilito che bisogna campare 120 anni; se bruciamo tutto adesso, poi che facciamo? Ci vogliamo proprio annoiare?

[fabtor]

In realtà sono andato a rivedermi l'algebra modulare per cercare di togliere un po' di ruggine dalle mie memorie da autodidatta e mi sono perso su una mia congetturina che ho tentato di dimostrarmi (forse pure riuscendoci riuscendoci)...

TUTTAVIA ORA HO TOTALMENTE PERSO DI VISTA (!!!!) quale fosse il problema, sorry...
Potresti fare un riassuntino conciso, per favore?

Grazie

[modulocomplicato]

Utilizzare funzioni per modulare altre funzioni e analizzando in particolare le potenze di interi (es. A^n)

Per le quali vale la proprietà A^n= sommatoria da 1 ad A di (x^n-(x-a)^n)

Grazie al triangolo di Tartaglia

utilizzare questo metodo a "modulo complicato" per

- estrarre a mano le radici ennesime

- dimostrare che esiste un orologio complicato a più lancette nel quale anche il numero di giri è importante (e non solo il resto)

- dimostrare un metodo per calcolare gli integrali che comporta anche una importante considerazione sugli infinitesimi.

...e quindi asserire che la "nuova" gemoetria consente di fare affermazioni prima del tutto impensabili...

Ciao
Stefano

[modulocomplicato]

Scusate correzione:

per le quali vale la proprietà A^n= sommatoria da 1 ad A di (x^n-(x-1)^n)


Ciao
Stefano

[fabtor]

[dimostrare che esiste un orologio complicato a più lancette nel quale anche il numero di giri è importante (e non solo il resto)]

In mangino che questo punto sia collegato al tentativo di esprimere sotto forma di "modulo complesso" anche gli irrazionali trascendenti come pi_greca e il numero di nepero, vero?

[...e quindi asserire che la "nuova" gemoetria consente di fare affermazioni prima del tutto impensabili...]

Sbaglierò, ma anche se non so perché, tutto questo mi ricorda un po' la teoria LQG ...

[modulocomplicato]

Direi di no.

Nel senso che il modulo complicato (x^n-(x-1)^n) è simile al modulo complesso (a+ib) solo se n=2

Se utilizzi un modulo complesso a+ib+jc+kd... allora si modulo complicato e modulo complesso possono essere identici.

L'importanza di questa considerazioni sta proprio nel fatto che i,j, k etc... (quindi gli omologhi nel modulo complicato) possono essere considerati come "versori", cioè ci aiutano a capire che ogni singolo termine a,b,c etc è tassativamente necessario ad esprimere quello di cui stiamo parlando, e cioè per fare un paragone geometrico sta su un asse ortogonale a tutti gli altri, cioè senza di lui non c'è verso di costruire la figura (pana o spaziale o iperspaziale) che stiamo considerando.

Nel merito:

A^2=C^2-B^2 ha soluzione nel piano

$A^2 = \sum_{\script x=1}^{A}{(x^2-(x-1)^2)}= \sum_{\script x=1}^{A}{(2x-1)}$

$B^2 = \sum_{\script x=1}^{A}{(x^2-(x-1)^2)}= \sum_{\script x=1}^{B}{(2x-1)}$

$C^2 = \sum_{\script x=1}^{A}{(x^2-(x-1)^2)}= \sum_{\script x=1}^{C}{(2x-1)}$


${A^2=C^2-B^2}$ equivale a:


$\sum_{\script x=1}^{A}{(2x-1)} = \sum_{\script x=1}^{C}{(2x-1)} - \sum_{\script x=1}^{B}{(2x-1)}$

$\sum_{\script x=1}^{A}{(2x-1)} = \sum_{\script x=B+1}^{C}{(2x-1)}$

Cioè facciamo un'operazione lecita: ci chiediamo se una figura bisimensionale come il quadrato può avere un'area che è il risultato di una operazione anch'essa bidimensionale.

Che equivale a trovare il punto C (fra B ed A+B) per cui: C^2 = A^2+B^2.

E' evidente che C può essere espresso sempre come la somma o la difefrenza di due valori A e B, o la distanza da B e da A+B etc... e questo INDIPENDENTEMENTE DALLA POTENZA SCELTA.

Se la potenza è diversa da 2 non esistono soluzioni in quanto è come chiedersi se un quadrato può essere uguale ad un cubo.

E' anche importante far notare che, invece

${A^2=C^2-B^2}$ ha soluzione per qualsiasi A

Infatti osservando i limiti della sommatoria e ponendo

$B= (A^2-1)/2$ e $C = (A^2+1)/2$

la

${A^2=C^2-B^2}$

che è:

$\sum_{\script x=1}^{A}{(2x-1)} = \sum_{\script x=B+1}^{C}{(2x-1)}$

sarà sempre soddisfatta.

Quindi se cerchiamo la soluzione a:

A^3=C^3-B^3

Commettiamo una operazione "errata"

cioè non c'è soluzione negli interi perchè A^3 è una costruzione "completa" nello spazio i,j,k secondo le regole della potenza (cioè è un cubo)

Mentre C^3-B^3 è una costruzione "completabile" nello spazio i,j.

E completabile nello spazio i,j,k solo se ci mettiamo nella condizione che i,j,k siano irrilevanti e cioè accettiamo una soluzione irrazionale (trascendente?) non intera (in cui i,j,k sono ininfluenti)

Cioè ci aiuta a creare un parallelo geometrico più comprensibile (almeno per me) di cosa succede:

Se decidi una regola n-dimensionale con cui ordini e fai crescere il tuo elenco ad esempio di interi, allora non troverai acuna regola con un m<>n dimensionale che metta in relazione, con risuotati interi, gli elementi dell'enco.

Se, invece, si accetta una soluzione "trascendete", cioè non intera, allora potrai inventarti la regola che vuoi, avrai sempre una soluzione.

2) Se questo principio è valido allora pi-greco come "e" etc... non sono esprimibili con un modulo complicato, con un numero di termini finiti, ma richiedono un numero infinito di termini (o versori).

Cioè all'infinito tutti versori si riuniscono.

3) per chi ha scritto in altro topic che gli infinitesimi sono dei numeri, beh, si nel senso che se prendiamo ad esempio i termini del modulo complicato per n=3

M3= 3x^2-3x+1

Decidiamo di avere precisione z= 1/10 avremo

M3/10 = 3x^2 /z - 3x/z^2 + 1/z^3 = 3x^2 /10 - 3x/100 + 1/1000

Quindi capiamo che fin tanto che z cresce, ma resta finito, ciascun versore ( i= 3x^2 J= -3x K= 1)

ha il suo "PESO", piccolo, ma non trascurabile

Se, però, facciamo tendere z all'infinito, il peso di J= -3x/z^2 K= 1/z^3 diventa NULLO !

Per cui se z tende ad infinito, il limite della sommatoria (cioè l'integrale tra 0 ed A)

$\sum_{\script x=1/z}^{A}{(3x^2 /z - 3x/z^2 + 1/z^3)}$

è l'integrale tra 0 ed A, di 3x^2, che vale A^3

....chiaro ? No ? Dove ? Mi piacerebbero domande più specifiche...

[fabtor]

Non vorrei dire una sciocchezza, ma mi pare che manchi qualcosa:

Le formule che utilizzi tu, permettono di trovare terne pitagoriche fondamentali solo per A dispari, ma ci sono anche le terne pitagoriche fondamentali con A = min(A,B,C) e A pari, conseguentemente quello che otteniamo al momento mi pare che sia "solo" la dimostrazione che non esistano terne "super pitagoriche" a termine minimo dispari.

Domanda: prendendo per buono comunque tutto se chiamiamo le terne pitagoriche terne quadratiche, potremmo ipotizzare/provare a dimostrare se esistano quaterne cubiche, quintetti quaternari o più in generale n-pletti di grado n-1-nari tali che tutti i termini siano interi positivi?

[modulocomplicato]

Grazie ! Bene, almeno qualcuno mi legge con interesse ed attenzione !

No, la dimostrazione è volutamente incompleta, arrivare a tutti gli A dopo quest'imboccata è semplice...

A pari: B= (A^2 /2)-1 C= (A^2/2)+1

Si la conclusione è corretta: per le potenze n-esime di interi non dovrebbero esistere ennuple n-1 esime (di interi) risolutrici.

L'applicazione del mio enunciato con il triangolo di tartaglia a facile dimostrazione dice questo...

Ma non essendo un matematico sono anche pronto all'immediata confutazione con magari un esempio banale che non conosco...

Se l'astrazione è troppo spinta e si volessero i "conti" a dimostrazione ho in mente una strada, ma zero tempo per controllare (versione più comprensibile della curva alfa).

Ma non vorrei però girare altrove... possiamo restare sul discorso "modulo complicato", integrale, versori etc... nella parte fin quì descritta per cominciare ad usarla in casi più semplici ?

Grazie
Ciao
Stefano

[fabtor]

Un ultima cosa "fuori argomento":quindi se la tua dimostrazione con tartaglia dimostra che per le potenze n-esime di interi è necessario che ci siano almeno ennuple n-esime (di interi) risolutricin (che però non è lo stesso che dire: non dovrebbero esistere ennuple n-1 esime (di interi) risolutrici) avresti indirettamente dimostrato l'ultimo Fermat con una strategia meno macchinosa, giusto? E chissà, magari sfruttando la similarità tra "modulo complicato" e numeri complessi ci si potrebbe magari buttare sull'ipotesi di Riemann ...

P.S. Perché un forum di matematica non ha nel suo dizionario es egna quindi errore il nome di un matematico?;)

[modulocomplicato]

No, non non sei affatto fuori argomento, solo che sei già arrivato a quella che sarebbe la mia conclusione... solo che nemmeno io so se anticiparla perchè se da un lato mi pare che il tutto funzioni dall'altro so bene quante stupidaggini ho detto e potrei dire data la mia ignoranza.

Dunque per chiarire:

Il problema di fermat con il modulo complicato si pone in questa luce:

Se fai crescere un elenco di interi utilizzando la f(x) = x^n

e poi ti chiedi se esistano valori che soddisfano un'alra funxione g(x) = C^n-B^n

Allora guarda che l'unico caso che ha delle soluzioni è quello n=2

Perchè la g(x) che hai scelto è una funzione di 2° grado, quindi ha 2 sole variabili ed è caratterizzata dal fatto che, come per la f(X), il rapporto di crescita (anche derivata in questo caso) è una retta.

L'operazione di "coincidenza" può avvenire in infiniti punti ed è come una semplice traslazione degli assi parallelamente a se stessi di due valori x e y.

Se, invce, F(x) ha grado 3 o maggiore, il suo rapporto di crescita è una funzione di 2° grado (quindi una curva).

Con il modulo complicato si vede che da un lato (es a sinistra) la sommatoria ha 3 o più termini, dall'altro solo 2. IN particolare si vede che i due termini a destra possono essere sottratti dagli ultimi due di quelli a sinistra... ma non c'è verso di eliminarli tutti (nè quello di grado superirore)

Quindi, negli interi, non si può trovare una coincidenza con una semplice traslazione degli assi, ma occorrerebbe introdurre una rotazione... fatto che comporta l'utilizzo di un modulo a infiniti termini, che garantisce una soluzione (anche se irrazionale).

2) Sono certo che sto farneticando: si credo anche di aver già spiegato come la vedo per RH e perchè i due problemi sono molto simili, ma la soluzione si trova ricordando alcune proprietà dei primi...

Da un lato abbiamo la retta dei numeri interi positivi, dall'altro un ipervolume i cui versori i,j,k etc... sono i numeri primi. L'origine dei versori è in 1, quello della retta in zero, ma questo poco importa.

Ora è chiaro che esiste una corrispondenza "rigida" fra gli elementi della retta e quelli dello spazio i,j,k... in quanto ogni intero sulla retta è ottenibile come il prodotto di primi e/o loro potenze.

Non essite un numero intero sulla retta che non abbia un "corrispondente" nello spazio e viceversa.

Abbiamo visto che il quadrato è quindi la più piccola potenza che consente di visualizzare la differenza fra primi e non primi... quindi l' 1/2 (cioè radice quadrata) non ha più nulla di misterioso !

La grandezza, o il colpo di fortuna, di RH è stato quello di vedere in quella particolarmente complessa costruzione matematica un modo per dare la stima esatta dei primi (o meglio correggere la stima logaritmica).

Perchè il legame fra primi e logaritmi ?

Perchè logaritmi e potenze sono cugini... e dato che x^2 (che becca i primi) è una potenza... e che la parte complessa è un modo per creare un "rotore" che spazzola nel continuo lo "spettro" dei numeri.... e che la funzione di correzione è una serie è infinita... tutto torna senza fare una piega...

etc... scusa non riesco ora a postare, in ogni caso ho credo già postato da qualche parte la ricostruzione di un analogo del paesaggio z, con i primi che si trovano proprio a quota zero...

E' evidente, però che se questa è la strada, non è proprio (o non è ancora) una soluzione matematica "rigorosa" e men che meno presentabile...

[modulocomplicato]

Nota: quando dico Grado di una funzione lo intendo nel senso "stretto" e cioè del numero delle variabli a cui essa è riconducibile: X^3 è grado 3 (e fin quì non ci piove, )
E' rappresentabile come sommatoria di 3 termini (che chiamo impropriamente termini indipendenti in quanto giacciono du tre direzioni ortogonlali, i,j,k....), o da tre termini identici, ma che sempre devono essere posti sui 3 versori.

Il fatto che li spiattelliamo sulla curva nel piano y=x^3 è quello che causa il primo problema interpretativo: lo puoi fare se ti poni nello spazio a infiniti versori i,jk, etc.... (QUINDI ACCETTI DI MISCHIARE INTERI E IRRAZIONALI).

Nel problema di Fermat C^3-B^3, invece è di grado 2... in quanto riconducibile alle sole distanze di C da A e da A+B (o a piacere altre due variabili senzate...)

...Già mi immagino la faccia dei Prof. rigoristi...

[modulocomplicato]

Ho già trovato le prime prove (formulazzi) del collegamento fra il mio modulo complicato e la funzione Z di Riemann... Ma sarebbe molto più interessante se si riuscisse a restare nella sola "astrazione".

[fabtor]

Grazie ! Bene, almeno qualcuno mi legge con interesse ed attenzione !

No, la dimostrazione è volutamente incompleta, arrivare a tutti gli A dopo quest'imboccata è semplice...

A pari: B= (A^2 /2)-1 C= (A^2/2)+1

Allora, il tuo immenso lavoro sulle terne pitagoriche, almeno quello che hai riportato, per quanto molto interessante contiene quanto meno un paio di imprecisioni relativamente alle formule a minimo pari ed almeno altre 2 imprecisioni su quelle dispari.

Visto che 1 che è dispari viene prima di 2 che è pari (lo 0 lo considero neutro ) partiamo dalla formula per le terne a minimo dispari (1).

(1)
La formula da te riportata ha l'indubbio vantaggio di generare terne primitive ma

• crea anche terne, almeno una, che è a temine minimo neutro
  crea soltanto terne del tipo c= b+1 lasciando fuori, per esempio le terne del tipo 33 56 95 giusto per citarne una del gruppo c= b+9 ed in generale tutte quelle del tipo c = b+ k con k dispari e k>1

Quindi in errore con quanto anche da me inizialmente affermato la tua dimostrazione non vale per tutte le terne a minimo dispari, ma solo per quelle di un gruppo

Passiamo alla formula delle terne a minimo pari (2)

(2)
In questo caso la formula da te citata purtroppo non genera solo terne primitive a minimo pari ma anche

• terne derivate con MCD = 2 e (mi pare che gli MCD possibili siano solo 1 e 2) che però possono essere "primitivizzate" (quasi sicuramente sempre e solo) a terne a minimo dispari del tipo c = b+1
  crea una terna con minimo negativo dispari (-1) e termine secondario nullo
  crea una terna con minimo nullo
  non crea tutte le terne a minimo pari possibili ma solo quelle del tipo c = b+2 (come detto primitive e non) infatti giusto per citarne un paio rimangono escluse le terne 20 21 29 (la formula infatti non genera, mi pare, terne a minimo 20) e 28 45 53 ( ma genera quella 28 195 197)

Per cui anche in questo caso la tua dimostrazione riportata temo che sia incompleta anche per i minimi pari.