BASE CINQUE FORUM

Da L. Lombardo Radice "il metodo matematico" 1° volume:

esercizio 2:
si debbono disporre 6 persone (ABCDEF) intorno a un tavolo in modo che B sia sempre vicino ad A, non importa se a destra o a sinistra. Quante sono le possibili disposizioni?

esercizio 3:
stesso esercizio di 2) ma, con B che può trovarsi soltanto alla destra di A.

osservazione: il tavolo deve essere quadrato? rettangolare? tondo?
nell'esercizio 3 considero A e B come una sola persona? e nell'esercizio 2?

Sulla combinatoria sono un po' intorpidito (ai presente le rotelline che cercano di girare ed intanto partono pezzetti di ruggine da tutte le parti?;) ) comunque una volta che si è stabilito che le persone sono intorno ad un tavolo non mi pare proprio che la forma dello stesso abbia qualche rilevanza: per te sono comunque disposti "ad anello", se poi qualche commensale si troverà su uno spigolo, beh non sarà comodissimo, ma sempre meglio che avere il cassetto sullo stomaco e il televisore di spalle...

Sempre "a naso" direi che non si debba considerare, in nessuno dei due esercizi (ma ho dei dubbi sul terzo), A e B come un'unica entità: il fatto che cmq debbano stare vicini è un vincolo e se tu considerassi il "bitede ottapode" AB al posto dei due singoli individui A e B temo che arriveresti a dei risultati falsati.

Forse potresti partire dal caso più semplice della disposizione lineare dei commensali per poi includere tra i casi validi anche le disposizioni con A e B agli estremi valutando i due casi specifici ("a spanne" direi comunque che la soluzione del secondo esercizio è doppia rispetto a quella del terzo).

Detto questo, qui per il momento mi fermo.

Ciao

P.S. Curiosità: Sei sicuro che l'esercizio uno, che tu non riporti, non possa darti qualche buono spunto di partenza? Di solito l'ordine progressivo degli esercizi aggiunge, passami il termine, "complicanze sequenziali d'approfondimento".

ecco la pagina degli esercizi da "il metodo matematico" di L.L.Radice.

non mi riesca inviare immagine della pagina esercizi

la forma del tavolo è importante. infatti, ci sono le disposizioni cicliche. la formala per risolvere le quali è la seguente:
P'n = Pn/n = n!/n = (n - 1)!

Scusa, magari mi sbaglio, ma la forma non dovrebbe rimanere ciclica indipendentemente dalla forma del tavolo? Dovrebbe essere la posizione delle persone a determinare il ciclo non la struttura alla quale sono intorno. ...

Un'altra cosa visto che siamo indegli anelli la combinazione "ABCDEF" e la combinazione (ad esempio) "CDEFAB" vanno considerate identiche o anche "i posti a sedere" sono "numerati"?

in quanti modi 4 persone possono sedersi attorno ad un tavolo?
la risoluzione dell'esercizio considera il tavolo rettangolare e che a ciascun commensale è assegnato un posto secondo un certo ordine. in questo caso i modi possibili sono tanti quante le disposizioni di 4 elementi di classe 4, ossia:
D4,4 = 24.

se il tavolo è rotondo fissato il posto di un commensale (sempre 4 commensali) i casi possibili sono le disposizioni:
D3,3 = 6 cioè, Pn = (n - 1)! = (4 - 1)! = 3! = 6.
poiché qualsiasi spostamento circolare non modifica la disposizione delle persone.

NOTA:
se digiti nella ricerca del sito base 5 "disposizioni cicliche" troverai la spiegazione delle disposizioni cicliche e esempi con disegno. ma quanto scrivo qui sopra non mi fa comprendere il testo dei due esercizi del libro di L.L.Radice.
ciao

per il secondo esercizio la permutazione sarebbe solo sui 4 elementi CDEF mentre B può trovarsi solo a sinistra o a destra di A? cioè, CDEF = 4 x 3 x 2 x 1 = 24 + AB = 2 x 1 = 2 totale = 26? oppure 24 x 2 = 48?

per l'esercizio 3 visto che B è vincolato alla destra di A avremo CDEF = 4 x 3 x 2 x 1 = 24 + 1 totale = 25? oppure 24 x 1 = 24?

Sei sicuro che la differenza non sia dovuta al fatto che nel tavolo rettangolare che tu citi i commensali siano in linea?

Francamente se io li metto lungo le 2 file + i 2 capotavola proprio non riesco a vedere la diff con il tavolo rotondo e se il problema dice intorno al tavolo mi pare proprio che non vi siano dubbi che la disposizione dei commensali sia per il tavolo rettangolare quella delle 2 file + i 2 capotavola o in generale che i commensali siano disposti lungo tutto il perimetro del tavolo (e che quindi vi sia cmq sempre una disposizione ad anello)... Non capisco dove sia l'errore di questo mio ragionamento.

dovremmo considerare la frase B a sinistra o a destra di A non importa se vicino ad A? il testo specifica "B vicino ad A non importa se a destra o a sinistra".

se il tavolo è rotondo negli appunti trovati in internet si dice che la permutazione ciclica P'n (numero delle permutazioni cicliche di n oggetti) è uguale al numero delle permutazioni di n oggetti diviso per n, cioè:

P'n = Pn/n = n!/n = (n - 1)!

Infatti, ma considerando che i commensali sono "intorno a un tavolo" la permutazione a cui ci si deve riferire è sempre ciclica indipendentemente dalla forma del tavolo secondo me.

Per il resto io consideravo il sinistra o il destra come "il posto prima od il posto dopo" altrimenti, se la permutazione è ciclica e non contano le posizioni di distanza tra A e B si ha che A è sempre contemporaneamente a destra ed a sinistra di B ( e viceversa), anche se in "un ciclo" anche il concetto di prima e dopo può diventare relativo...

P.S. Alvaro continuano ad arrivarmi tuoi messaggi vuoti (o meglio con i quote, ma senza testo ).
P.S.S. Domani parto per le ferie (finalmente)... Ci si legge a fine Agosto. Ciao

penso che il tavolo quadrato possa permettere spostamenti non ciclici. per esempio: se il lato a è opposto al lato c, si spossono avere spostamenti tra c ed a e viceversa, così per l'altra coppia di lati opposti cioé b e d.
nel tavolo tondo, questi movimenti opposti, cioè: tra a e c e tra b e d, pare di capire non sono possibili?
ciao e buone vacanze

Nel quesito n.2, direi che abbiamo 48 diverse possibilità di sistemare le 6 persone.

Per me la forma del tavolo non ha importanza, perché sempre assimilabile a quella di un cerchio.
Quello che mi pare importante nel conteggio delle diverse posizioni "relative" assumibili intorno al tavolo è il verso, da convenire, in cui si effettua il conteggio (orario o antiorario), onde evitare che disposizioni diverse possano essere considerate uguali; es:

A B.... A D
D C.... B C

sono disposizioni diverse, se ambedue esaminate nello stesso senso.

Si conviene anche che i posti non siano numerati.

Tanto premesso, dispongo prima 4 persone (C,D,E,F) e vedo che questo è possibile in 6 modi diversi, a differenza della disposizione lineare che ne avrebbe previsti 4!=24; quindi in ognuno dei 4 spazi fra due persone vado ad inserire una volta AB ed un'altra BA, per cui 6x4x2=48.

Nel quesito n.3, abbiamo chiaramente la metà delle possibilità.

Concordo con le soluzioni di Pasquale.

Ho ragionato come sotto.

Intanto considero il tavolo rotondo (sotto commento).

Poi, inizialmente, non considero B, quindi ho 5 persone: A, C, D, E, F .

Sarei tentato di considerare che si possono sedere in 5! modi differenti, ma mi accorgo che, per esempio, le disposizioni ACDEF, CDEFA, DEFAC, EFACD e FACDE sono equivalenti, riferite ad al tavolo tondo del testo.
Cioè: se non si ha un “punto di inizio” (e dal testo non si ha) per ogni modo di disporsi al tavolo esistono 5 diverse disposizionidelle lettere A, C, D, E, F .

Altri inghippi non ne vedo, per cui mi pare chiaro che i 5 possono diporsi in 5!/5 modi diversi, cioè in 4!=24 modi diversi.

Se poi abbiamo anche B, e questo può sedersi solo a sinistra o a destra di A, allora per ogni disposizione delle prime 5 persone ne abbiamo due per le sei persone, cioè le 6 persone possono sedersi in 2·24=48 modi diversi (come già detto da Pasquale).
Se invece B può sedere solo alla destra di A, l'inserimento di B non fa variare il numero delle possibilità, che resta 24.

Questo ultimo pezzo di ragionamento (sopra) può aiutare a rispondere alla domanda
«nell'esercizio 3 considero A e B come una sola persona? e nell'esercizio 2?»





Se il tavolo non è tondo, ma è, AD ESEMPIO, una “fratina”, con 3 persone da una parte e 3 dall'altra, le possibilità aumentano, perché conta anche chi è “nel mezzo”. In questo caso per ogni modo di disporsi di 6 persone al tavolo rotondo, ne avremmo 3 ad una fratina con 3 da una parte e 3 dall'altra, ma non sto considerando che B deve trovarsi vicina ad A, a meno che non si consideri che A e B messi di fronte e non centrali siano considerati “vicini” (come se li potessimo considerare al tavolo rotondo).

Altro esempio: il tavolo quadrato.
In questo caso abbiamo l'ulteriore variabile che non si possono dividere 1,5 per lato, così o si mettono alcuni ai vertici, oppure si hanno alcuni lati con 1 ed altri con 2 persone (escluderei lati vuoti e lati con più di 2).

Invece se il tavolo fosse esagonale e si avessero 1 persona per lato, si avrebbe lo stesso risultato del tavolo rotondo, ammesso di considerare «che B sia sempre vicino ad A, non importa se a destra o a sinistra» nel caso «che B sia sempre NEL LATO vicino ad A, non importa se a destra o a sinistra».



Però io considererei il tavolo come rotondo.

Infiniito, non mi è chiara una cosa.

Perchè nella "fratina" se cosideriamo le posizioni così:

1 2 3
-----
4 5 6

non mi sarebbe lecito considerare 3 e 6 (o 1 e 4 ) consecutivi come 2 e 3 (o 4 e 5)? Alla fine la consecutività dovrebbe essere data dalla posizione dei posti (cioè dalla consecutività delle sedie( o degli sgabelli o cosa per esse/i) senza che lo spazio tra queste (o meglio la forma dello spazio tra queste) influenzi il ragionamento.

Io infatti optavo per assimilare il tutto al tavolo rotondo perchè indipendentemente dal fatto che lo spazio tra 3 e 6 (ad esempio) sia maggiore di quello che c'è tra 2 e 3 (sempre ad esempio) ciò non dovrebbe essere influente in quanto lo spazio tra due posti non è un posto (ma al più un "posto in potenza" qualora si aggiungesse e ci stesse un'ulteriore sedia o simile).