Il tè del gigante

0-§ · **Inviato:** lun feb 08, 2010 1:07 pm

Una delle mie allucinazioni matematiche...
"Al gigante Pantagruel viene servita direttamente in bocca una buona tazza di tè fumante mediante un apposita macchina. Per l'esattezza, la tazza è una semisfera di raggio R piena fino all'orlo che grazie alla macchina di cui sopra può essere fatta ruotare attorno a un punto (fisso) del suo bordo con la velocità desiderata; in quel punto il colossale consumatore appoggia le labbra. Si può supporre che la superficie del fluido si mantenga in posizione orizzontale. Se si desidera che la portata del tè (intesa come volume/tempo) si mantenga costante, qual'è l'espressione della velocità angolare della tazza (in funzione del tempo e di R) rispetto al suo asse di rotazione?"
Spero sia tutto chiaro. È un po' calcoloso, ma mi sembra interessante.
Saluti,
GM

franco · **Inviato:** lun feb 08, 2010 10:37 pm

Azzardo una soluzione facendo riferimento a questa figura (immaginata a 3 dimensioni):
Immagine

Il volume iniziale $(t=0)$ è:
$V\left( 0 \right) = {2 \over 3}\pi R^3$

All'istante $t$ il volume bevuto è:
$V\left( t \right) = V\left( 0 \right) - \pi h^2 \left( {R - {h \over 3}} \right)$

ma poichè:
$h = R\left( {1 - \sin x\left( t \right)} \right)$

posso scrivere:
$V\left( t \right) = {2 \over 3}\pi R^3 - \pi R^3 \left( {1 - \sin x\left( t \right)} \right)^2 + {1 \over 3}\pi R^3 \left( {1 - \sin x\left( t \right)} \right)^3 = {{\pi R^3 } \over 3}\left( {2 - 3\left( {1 - \sin x\left( t \right)} \right)^2 + \left( {1 - \sin x\left( t \right)} \right)^3 } \right)$

La portata di the è:
${{dV} \over {dt}} = {{\pi R^3 } \over 3}\left( {6\left( {1 - \sin x\left( t \right)} \right)\left( {\cos x\left( t \right)} \right) - 3\left( {1 - \sin x\left( t \right)} \right)^2 \left( {\cos x\left( t \right)} \right)} \right) =$
$= \pi R^3 \left( {2\cos x - 2\sin x\cos x - \cos x + 2\sin x\cos x - \sin ^2 x\cos x} \right) =$
$= \pi R^3 \cos x\left( {1 - \sin ^2 x} \right) = \pi R^3 \cos ^3 x$

Quindi, perchè riusulti costante la portata, deve essere:
$\cos ^3 x\left( t \right) = cost$

... almeno credo :roll:

...

Non sono sicuro dei passaggi; è passato troppo tempo dai miei studi.
Mi piacerebbe fare un grafico in un diagramma cartesiano t-x ma sono stanco e non sono sicuro ne valga la pena (magari è tutto sbagliato!)

ciao

franco · **Inviato:** lun feb 08, 2010 10:44 pm

Vi dirò...

più la guardo, meno il risultato mi convince!

ri-ciao

franco · **Inviato:** mer feb 10, 2010 8:14 pm

franco ha scritto:

Azzardo una soluzione facendo riferimento a questa figura (immaginata a 3 dimensioni):
Immagine

Il volume iniziale $(t=0)$ è:
$V\left( 0 \right) = {2 \over 3}\pi R^3$

All'istante $t$ il volume bevuto è:
$V\left( t \right) = V\left( 0 \right) - \pi h^2 \left( {R - {h \over 3}} \right)$

ma poichè:
$h = R\left( {1 - \sin x\left( t \right)} \right)$

posso scrivere:
$V\left( t \right) = {2 \over 3}\pi R^3 - \pi R^3 \left( {1 - \sin x\left( t \right)} \right)^2 + {1 \over 3}\pi R^3 \left( {1 - \sin x\left( t \right)} \right)^3 = {{\pi R^3 } \over 3}\left( {2 - 3\left( {1 - \sin x\left( t \right)} \right)^2 + \left( {1 - \sin x\left( t \right)} \right)^3 } \right)$

La portata di the è:
${{dV} \over {dt}} = {{\pi R^3 } \over 3}\left( {6\left( {1 - \sin x\left( t \right)} \right)\left( {\cos x\left( t \right)} \right) - 3\left( {1 - \sin x\left( t \right)} \right)^2 \left( {\cos x\left( t \right)} \right)} \right) =$
$= \pi R^3 \left( {2\cos x - 2\sin x\cos x - \cos x + 2\sin x\cos x - \sin ^2 x\cos x} \right) =$
$= \pi R^3 \cos x\left( {1 - \sin ^2 x} \right) = \pi R^3 \cos ^3 x$

Quindi, perchè riusulti costante la portata, deve essere:
$\cos ^3 x\left( t \right) = cost$

... almeno credo :roll:

...

Non sono sicuro dei passaggi; è passato troppo tempo dai miei studi.
Mi piacerebbe fare un grafico in un diagramma cartesiano t-x ma sono stanco e non sono sicuro ne valga la pena (magari è tutto sbagliato!)

ciao

Ho derivato V rispetto ad $x$ anzichè rispetto a $t$ !
Il risultato giusto dovrebbe essere:
$\cos ^3 x\left( t \right) {{dx} \over {dt}} = cost$

ossia, velocità angolare inversamente proporzionale al cubo del coseno dell'angolo!

(se non ho sbagliato ancora!)

ciao

delfo52 · **Inviato:** mer feb 10, 2010 11:26 pm

rileggendo il testo, mi chiedo se è necessaria la specificazione del fatto che P. appoggia la bocca al punto di perno. Cambia qualcosa se la tazza viene incernierata "in alto" al punto diametralmente opposto a quello da cui il liquido comincerà a tracimare? O se il recipiente vien fatto ruotare attorno ad un diametro ? o ad una corda qualsiasi?

franco · **Inviato:** mar feb 16, 2010 7:15 am

L'unica differenza è che Pantagruel, nel caso non poggi le labbra sulla cerniera, deve muovere il suo testone per seguire il movimento della tazza.
Con la sua mole, è uno sforzo non da poco!

ciao

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