Quattro amici nel bosco

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Quattro amici nel bosco

Messaggioda franco » dom giu 04, 2017 8:40 pm

Alle dieci e mezza del mattino, Antine, Bachisio, Chirigu e Doddore sono in cammino in mezzo a un bosco del Supramonte.
Cominciando a sentire un po' d'appetito, decidono di andare a pranzo alla locanda di Efisio che si trova lungo un sentiero rettilineo che attraversa tutto il bosco.
Antine decide di andare per la via più diretta; gli altri tre invece combinano un tratto rettilineo nel bosco e un tratto di sentiero:
Bachisio raggiunge il sentiero per la via più breve, Chirigu lo raggiunge con un angolo che gli consenta di arrivare alla locanda per primo e Doddore, che non ha le idee molto chiare, prende una direzione simmetrica a quella di Chirigu rispetto a quella di Bachisio.
I quattro marciano alla stessa velocità nel bosco e a velocità doppia nel sentiero.
Al termine della camminata, Doddore arriva alla locanda assieme a Antine, dopo aver percorso tre chilometri in più rispetto a Chirigu.
La velocità media più elevata fra i quattro è stata di 5,5 km/h.

Determinare l'orario d'arrivo dei quattro amici e le distanze che hanno percorso.

A2979
Bosco1.PNG
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Re: Quattro amici nel bosco

Messaggioda Pasquale » mer giu 14, 2017 1:59 am

C'è qualcosa che non quadra o comunque che non mi riesce. Riporto ad ogni modo quel poco che ho fatto.
Facendo riferimento al disegno, per mia comodità considero le lettere D,B,C come giacenti sul sentiero veloce DE.
Considero poi PB=x, CE=y, DB=BC=1.5, V=velocità di percorrenza dei sentieri PD, PB, PC, PE e dunque 2V quella relativa ai percorsi lungo DE

Se ho compreso bene il testo, considero quindi il tempo necessario per coprire il percorso PDE uguale a quello impiegato per PE:

T_{PDE}=T_{PE}

\frac {sqrt{x^2+1,5^2}}{V}+\frac{3+y}{2V}=\frac{sqrt{x^2+(1,5+y)^2}}{V}

sviluppando, si giunge a :

16x^2+36=\(\frac{3y^2+6y-9)}{y+3}\)^2

16x^2+36=[(y+3)(3y-3)]^2

e proseguendo:

x=\frac{3}{4}sqrt{y^4+4y^3-2y^2-12y+5}

in cui il radicando deve essere maggiore di zero, il che è vero per:

y_1 < 0,414213562... (naturalmente fanno testo solo i valori positivi)
y_2 > 1,449489743...

Qui si complicano le cose, perché occorre fissare un y tale che x sia tale che si realizzi anche la condizione dei 5,5 Km/h del testo, che da quanto ho capito dovrebbe riferirsi al percorso PCE.

Ho provato a sfruttare il minimo tempo di percorrenza T_{PCE}, riferito al percorso PCE e correlato al dato sulla massima velocità media, allo scopo di individuare la velocità V praticabile lungo i sentieri boscosi (con questo dato avrei dato risposta ai quesiti sui vari tempi di percorrenza):

\frac{PC}{V}+\frac{CE}{2V}= \frac {PC+CE}{5,5}

da cui discende che:

V=\frac{11\cdot PC+5,5\cdot CE}{2(PC+CE)}, in cui PC è funzione di x e CE di y e dunque non ho trovato di meglio che impostare una routine di calcolo alla ricerca di un giusto valore per y e quindi per x, affinché quadrasse il tutto, ma questo non è accaduto, forse anche per le varie approssimazioni dei risultati di ogni operazione in gioco.

Per quanto sopra, ho provato a fissare x=3 per semplificare le cose con l'eliminazione di una variabile, giungendo all'equazione:

y^4+4y^3-2y^2-12y+4=0, da cui:

y_1=0,3281310261....
y_2=1,4972120409....

Tuttavia, anche così non sono giunto a risultati soddisfacenti in fase di verifica, in quanto dopo aver individuato con lo stesso precedente procedimento un valore di V=4.65129527... derivato da y_2 , in sede di verifica, il tempo di percorrenza dei percorsi PDE e PE non è più lo stesso, a dispetto della iniziale impostazione che conduce all'equazione di cui sopra.

Quanto sopra, salvo errori di calcolo o di impostazione logica del problema o di interpretazione dello stesso.
In definitiva dove sbaglio? Possibile che le incongruenze riscontrate dipendono soltanto dalle approssimazioni sulle varie misure, che incrociandosi fra loro accrescono ancor di più gli errori?
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Re: Quattro amici nel bosco

Messaggioda Jumpy94 » mer giu 14, 2017 9:40 pm

Partiamo nell'identificare i parametri del problema. C'è la distanza $PB$, la distanza $BE\equiv Y$, l'angolo $B\hat{P}E\equiv \psi$ e la velocità $v$ che sono fissi ma ignoti. Poi c'è la variabile $B\hat{P}C\equiv\theta$ che non è fissata ma va determinata dalla condizione di tempo minimo del percorso compiuto da C. Partiamo da questo. Il tempo $T_C$ di percorrenza totale di C è il seguente:
$$
T_C=\frac{PB}{v\cos\theta}+\frac{Y-PB\tan\theta}{2v}
$$
Determiniamo il punto di minimo derivando rispetto a $\theta$ e uguagliando a 0 ottenendo $\sin\theta=\frac{1}{2}$ (la derivata seconda di $T_{C}$ e positiva in questo punto quindi è minimo) da cui $\theta=\frac{\pi}{6}$. Determinato $\theta$ possiamo calcolare $PB=\frac{3\sqrt{3}}{2}$ e $PC=PD=3$ dove si è fatto uso del fatto che la distanza $DC=3$ visto che D ha percorso 3Km in più rispetto a C. Il prossimo passo è fare uso della condizione $T_D=T_A$. Innanzi tutto $T_D=\frac{15}{4v}+\frac{Y}{2v}$ mentre $T_A=\frac{3\sqrt{3}}{2v\cos\psi}$ da cui
$$
\frac{15}{4v}+\frac{Y}{2v}=\frac{3\sqrt{3}}{2v\cos\psi}
$$
tuttavia possiamo fare uso della condizione geometrica $Y=\frac{3\sqrt{3}}{2}\tan\psi$ che inserita nell'equazione ci permette di ricavare $\psi=2 \tan^{-1}\left(\frac{14 - 3 \sqrt{3}}{13}\right)\approx1,1905$ e quindi $Y=\frac{13}{2}$ e $PE=7$ . Non ci resta a questo punto che scrivere tutte le velocità medie in funzione di $v$, determinare quella massima e porla uguale a 5,5 km/h così esplicitiamo tutti i parametri. Scrivo direttamente i risultati tanto i conti sono semplici:
$$
\overline{v_C}=\frac{16}{11}v \qquad \overline{v_D}=\frac{11}{7}v \qquad \overline{v_B}\approx 1,5557v \qquad \overline{v_A}=v
$$
vediamo dunque che D ha la velocità media massima e la poniamo uguale a 5,5 ricavando dunque $v=3,5$.
Ora si hanno tutte le informazioni per trovare i vari tempi di percorrenza.
Ciao.
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