Quanti zeri da 1 a 1.000.000 ?

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Quanti zeri da 1 a 1.000.000 ?

Messaggioda bautz » lun set 25, 2006 11:22 pm

Bene, non ho trovato questo quiz nel forum, quindi credo sia nuovo.

Scrivendo tutti i numeri da 1 fino a 1.000.000 (un milione), quante volte si scrive la cifra 0 (zero) ?

Es: da 1 a 100 ci sono 11 zeri (10 20 30 40 50 60 70 80 90 100)

Sono riuscito a risolverlo (con un pò di impegno si riesce a farlo a mente...)
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Messaggioda Pasquale » mar set 26, 2006 1:27 am

Anch'io l'ho fatto a mente, contandoli uno ad uno, e me ne risultano 488.895 (mi sono addormentato contando e la mattina mi sono svegliato col risultato).
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Messaggioda bautz » mar set 26, 2006 10:16 am

Il numero è giusto ma...Ehi non stò scherzando!
In effetti il numero è giusto, ma bisogna postare il metodo di risoluzione (che non è quello di contare tutti gli zeri uno a uno, ovviamente).

Se vuoi posto le operazioni da fare...
Sulla carta ci si mette 1 minuto circa a fare i conti (sono conti semplici, c'è il trucco!), a mente un pò di più...e senza calcolatrice ovviamente.
Ma prima voglio vedere se qualcuno lo risolve.
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Messaggioda Pasquale » mar set 26, 2006 4:12 pm

Ah, confesso che non ho contato numero per numero mentre dormivo, ma è pur vero che in questo periodo non ho molta voglia di pensare, per cui ho comunque fatto il conto della serva a mano, considerando che i numeri contenenti degli zeri sono da 2,3,4,5,6 e 7 cifre.

Con 2 cifre:
abbiamo uno zero nella sola posizione delle unità ed in totale: 1 x 1 x 9

Con 3 cifre :
1 z. in 2 pos. = 1 x 2 x 9^2
2 z. in 1 pos = 2 x 1 x 9

Con 4 cifre:
1 z. in 3 pos. = 1 x 3 x 9^3
2 z. in 3 pos. = 2 x 3 x 9^2
3 z. in 1 pos. = 3 x 1 x 9

Con 5 cifre:
1 z. in 4 pos. = 1 x 4 x 9^4
2 z. in 6 pos. = 2 x 6 x 9^3
3 z. in 4 pos. = 3 x 4 x 9^2
4 z. in 1 pos. = 4 x 1 x 9

Con 6 cifre:
1 z. in 5 pos. = 1 x 5 x 9^5
2 z. in 10 pos. = 2 x 10 x 9^4
3 z. in 10 pos. = 3 x 10 x 9^3
4 z. in 5 pos. = 4 x 5 x 9^2
5 z. in 1 pos. = 5 x 1 x 9

Con 7 cifre:

6 z. in 1 pos: = 6 x 1

Totale:

9(1+2+3+4+5) + 9^2(2+6+12+20)+9^3(3+12+30)+9^4(4+20)+9^5(5)+6 = 9x15+9^2x40+9^3x45+9^4x24+9^5x5+6 =
135+6+9^2(40+9x45)+9^4(24+45) =
141 + 81x445 + 6561x69 =
141 + 36045 + 452709 = 488.895

Certamente avrai una soluzione più brillante.
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Messaggioda bautz » mar set 26, 2006 4:35 pm

Bè complimenti non c'è che dire... impeccabile il conteggio.
Comunque si ho una soluzione più breve che approccia il problema da un altro lato.
Lascio ancora aperto per chi vuol provare
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Messaggioda Admin » mer set 27, 2006 7:58 am

Salve a tutti,
anzitutto mi scuso per la prolungata assenza;
purtroppo in questo periodo sono molto impegnato;

tuttavia, vedo che i quesiti ed i nuovi iscritti non mancano, e ciò mi fa piacere (ci fa piacere);

Dunque, riguardo al quesito, io opererei delle divisioni successive per 10, in questo modo:

Dividiamo 1.000.000 per 10;
si ottiene 100.000, ossia il numero di zeri presenti in ultima posizione, nei numeri che vanno da 1 a 1.000.000;
abbiamo individuato quindi una parte degli zeri (per intenderci abbiamo individuato i seguenti 0: 10, 20, 30 .... , 300, 310, ... , 100.000, 100.010, ..., etc.)

Ora per contare gli altri zeri dei numeri (che ovviamente non si trovano in ultima posizione), possiamo togliere tutte le ultime cifre dei numeri in questione;
ciò possiamo farlo dividendo (divisione intera) ogni numero tra 1 e 1.000.000 per 10;
in questo modo si ottengono i numeri da 0 a 100.000 ognuno dei quali ripetuto 10 volte (tranne 100.000 che è unico); per intenderci:

numeri da 1 a 1.000.000:

1 2 3 .... 100 .... 1000 1001 1002 .... 1.000.000

dopo la divisione intera di ciascuno di essi per 10 si ottiene

\overbrace{0\,...\,0}^{10 \, num}\;\overbrace{1\,...\,1}^{10 \, num}\;... \;\overbrace{999.999\,...\,999.999}^{10 \, num}\; 100.000

Ossia abbiamo sempre 1.000.000 di numeri che però vanno da 0 a 100.000 ed ognuno è ripetuto 10 volte, tranne 100.000.

Ora sappiamo che dividendo 100.000 per 10 otteniamo 10.000, ossia tutti i numeri compresi tra 1 e 100.000 che hanno come cifra in ultima posizione lo zero;
siccome però nel nostro caso abbiamo i numeri da 0 a 100.000, ripetuti ognuno 10 volte, tranne 100.000, ci basta fare (10.000-1)\cdot10+1 per avere il numero di zeri in penultima posizione dei numeri che vanno da 0 a 1.000.000.

Ripetendo iterativamente questo procedimento si ha, in definitiva:

[html]

Operazioni
Numero di zeri parziale


1.000.000/10=100.000
100.000


100.000/10=10.000
(10.000-1)*10+1


10.000/10=1.000
(1.000-1)*100+1


1.000/10=100
(100-1)*1000+1


100/10=10
(10-1)*10000+1


10
1


SOMMA TOTALE
488.895

[/html]

Molto più facile a farsi, che non a spiegarlo.

Il tutto SE&O.

Ciao
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Messaggioda bautz » mer set 27, 2006 8:51 am

Ottimo.
Ora scrivo come l'ho risolto io.
La quantità di calcoli è praticamente la stessa di questa soluzione, solo che il problema è approcciato da un altro punto di vista.
Prima metto il ragionamento e alla fine i conti soltanto, perchè si tratta di mezza dozzina di operazioni con numeri semplici.
Prendiamo tutti i numeri da 1 a 1.000.000.
Al 1.000.000 togliamo l'1 (non ci serve), e aggiungiamo agli altri numeri tanti zeri quanti sono quelli che mancano per diventare numeri a 6 cifre (è complicato a spiegarsi ma è una stupidaggine a farsi: vuol dire che, ad es, 4056 diventa 004056, ok?)
Così abbiamo i numeri da 000.001 a 000.000, ovvero da 000.000 a 999.999, e sono 1.000.000 di combinazioni.
Quante cifre compongono questo milione di permutazioni tra 000.000 e 999.999 ? Esattamente 1 milione per 6 cifre ognuna, cioè 6 milioni. E la possibilità che una cifra sia 0 è di 1/10 (visto che le cifre sono tutte ripetute in modo uguale).
Quindi su 6.000.000 di cifre, 600.000 sono zeri.
Fin qui ok.
Ora bisogna togliere tutti gli zeri inutili (ad esempio da 004056 devo togliere 2 zeri in modo che torni ad essere 4056):
-i numeri a 1 cifra, cioè da 1 a 9 (che sono 9) hanno 5 zeri ognuno in più (quindi 5x9)
-i numeri a 2 cifre, cioè da 10 a 99 (che sono 90) hanno 4 zeri ognuno in più (quindi 4x90)
-i numeri a 3 cifre, cioè da 100 a 999 (che sono 900) hanno 3 zeri ognuno in più (quindi 3x900)
-i numeri a 4 cifre, cioè da 1000 a 9999 (che sono 9000) hanno 2 zeri ognuno in più (quindi 2x9000)
-i numeri a 5 cifre, cioè da 10000 a 99999 (che sono 90000) hanno 1 zero ognuno in più (quindi 1x90000)
Quindi gli zeri da togliere ai 600.000 iniziali sono tutti questi (sommati sono 111.105). Quindi 600.000-111.105 dà 488.895.
Sembra lungo il procedimento, ma i conti sono quà sotto (e senza fatica si fanno pure a mente):

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