Prodotto di n fattori, con n naturale.


In un altra discussione (1 numero primo (pour parlé) ) siamo andati OT ed abbiamo parlato della possibile definizione di “prodotto di n fattori, con n naturale”.
Per essere in regola (mi scuso per la mia tendenza all'OT) apro ora una discussione apposita, che in un certo senso continua l'altra, ma che dovrebbe essere autonoma.
Vista la lunghezza, per aiutare a “saltare” le parti che interessano meno, faccio un indice iniziale ed evidenzio.




Il “problema” è:
«
Dato un inseme A con un'operazione “·” da AxA in A (che chiamo “prodotto”), associativa e con elemento neutro “u”, mi chiedo:
a) “·” è solo binaria?
b) Ha senso parlare di prodotto di 3 elementi di A (cioè di un'operazione da N³ in N)?
c) Ha senso parlare di prodotto di n elementi di A, con n naturale maggiore di 1?
d) Ha senso parlare di prodotto di n elementi di A, con n naturale positivo?
e) Ha senso parlare di prodotto di n elementi di A, con n naturale qualunque?
f) Ha senso parlare di prodotto di n elementi di A, con n intero relativo?
g) C'è un modo “semplice”, “naturale” per definire il prodotto esteso?

Inoltre, supposto che come operazione si consideri il prodotto canonico fra numeri naturali e che sia valida la “e”, mi chiedo:
h) Quali sono gli svantaggi della sua introduzione?
i) Quali sono i vantaggi dell'accettare questa definizione?
l) È possibile considerare tale prodotto come una operazione “di base”, invece che una delle tante operazioni che si possono introdurre, ma che comunque interessano un ambito molto particolare?
»


Affronto i punti uno alla volta e nell'ordine.
Io do le mie definizioni, se voi avete critiche o perplessità postatele.



a) “·” è solo binaria?
Beh, “·” è un'operazione da AxA in A, quindi è binaria, perché così è definita, e quindi “è solo binaria”.
Ma il senso della domanda è «esiste una nuova “·” che ad una n-pla di elementi di A associa un elemento di A, che “ristretta” ad ad una coppia di elementi di A coincida con il “prodotto” e che ne sia “intuitivamente “ un'estensione”»?
Per rispondere a questa domanda si risponde alle successive.


b) Ha senso parlare di prodotto di 3 elementi di A (cioè di un'operazione da N³ in N)?
Essendo il prodotto associativo, se a, b, c sono 3 elementi di A si ha che (a·b)·c=a·(b·c), che posso “quindi” intendere come a·b·c . Per quanto non così ovvio credo che questo sia accettato da tutti e che nessuno faccia diversamente.


c) Ha senso parlare di prodotto di n elementi di A, con n naturale maggiore di 1?
Analogamente come sopra: per quanto non così ovvio, credo che comunemente, per la proprietà associativa, si accetta che si “iteri”.
E credo che questa definizione sia considerata “standard”.



d) Ha senso parlare di prodotto di n elementi di A, con n naturale positivo?
L'unica differenza col caso precedente si ha solo per n=1. La domanda è quindi:«Ha senso parlare di prodotto di un solo fattore? Come si definisce?»
La definizione che uso comunemente io (che mi pare la definizione “naturale”) è «Il prodotto di un solo fattore è il fattore stesso, considerato come prodotto».
Non credo che sia comunemente usata. Però non vedo problemi “teorici” per farlo, e non ne ho trovati nemmeno di “pratici”. Per valutarli penso che basti rispondere alle domande restanti.



e) Ha senso parlare di prodotto di n elementi di A, con n naturale qualunque?
Anche qui basta rispondere ad un solo caso. La domanda è quindi:«Ha senso parlare di prodotto di zero fattori? Come si può definire?»
La definizione che uso comunemente io (e anche questa mi pare “naturale”) è «Il prodotto di un solo fattore è il fattore stesso, considerato come prodotto».




f) Ha senso parlare di prodotto di n elementi di A, con n intero relativo?
Io non lo vedo, nel senso che se dico “n elementi di A” intendo che con n “conto” gli elementi di A, quindi n deve essere naturale.



g) C'è un modo “semplice”, “naturale” per definire il prodotto esteso?
Posso definirlo così:
«Il prodotto degli elementi di una n-pla di elementi di A è l'elemento che si ottiene moltiplicando 1 per tutti gli elementi della n-pla, nel suo ordine».



h) Quali sono gli svantaggi della sua introduzione?
Questi sta a voi ... ma perché io non li vedo, non perché non voglio parlarne.



i) Quali sono i vantaggi dell'accettare questa definizione?
Secondo me sono notevoli, e di varia natura, per esempio:
1° - Quanto sopra si applica in modo “naturale” (cioè senza ulteriori interpretazioni o condizioni) all'ambito delle potenze, eliminando ogni interpretazione ambigua (ed avendo come conseguenza che a°=1 per ogni a).

2° - La definizione di fattoriale diventa semplicemente «n! È il prodotto dei primi n numeri naturali positivi», senza ulteriori specificazioni, e questa definisce in modo naturale anche “0!”(provate altrimenti a motivare, anche in modo solo "vagamente accettabile" (ma non con un "perché funziona") perché 0!=1).

3° - Posso dare la definizione di polinomio semplicemente così: «un polinomio è la somma formale di monomi», e non così: «un polinomio è un monomio o la somma formale di monomi» (ovviamente voglio che tutti i monomi siano polinomi, per poter avere gli elementi neutri e poter fare le somme).
- Analogamente per la definizione di monomi.
Altri esempi si evincono dalle risposte sotto.


4° - Posso dare la definizione di monomio semplicemente così: «Dato un anello A e un insieme di “lettere” X (...), un monomio in (A, X) è il prodotto formale di elementi dell'unione di A e B», includendovi anche i numeri, le lettere e tanti enti che non sono prodotti secondo “voi”.

5° - Questo concetto è già usato comunemente con la somma, nel senso che “tutti sanno” che «La somma di 0 numeri è zero», ma la motivazione comune è che “se non ci sono numeri per forza è zero”, motivazione evidentemente sbagliata, tant'è che poi ci si accorge che non si può applicare lo stesso ragionamento al prodotto.
La motivazione corretta (secondo me) è questa: «La somma di zero addendi è 0, cioè l'elemento neutro della somma, considerato come somma».
Anche qui il tutto è semplice e naturale.

6° - Nel caso specifico del prodotto nell'insieme dei naturali, si può anche definire in ambito insiemistico direttamente con la definizione
«Dati due insiemi disgiunti B e C tali che #B=b e #C=c, si ha che b·c=#(BxC)». (“#B” è la cardinalità di B, cioè il numero degli elementi di B)
Allora in questo ambito la definizione di “prodotto di n numeri” segue naturalmente dalla “cardinalità del prodotto cartesiano di n insiemi”, prodotto che (da quello che ne so io) è definito anche per n=1 e n=0, con lo stesso valore dell'altra definizione.
Invece se “in ambito algebrico” non accettassimo la definitone di “prodotto di n fattori con n naturale, avremmo due definizioni “uguali” con effetti diversi (per esempio in ambito insiemistico si ha che 0°=1, mentre per molti 0° non è definita).



l) È possibile considerare tale prodotto come una operazione “di base”, invece che una delle tante operazioni che si possono introdurre, ma che comunque interessano un ambito molto particolare?
Secondo me ovviamente sì. Infatti l'opportunità di tale considerazione segue dal fatto che la definizione:
- è semplice e naturale;
- e “bella”;
- è una definizione “generale” (vale anche per la somma, ecc.) con applicazioni accettate
- fa chiarezza su diversi punti;
- in ambito insiemistico ha “conferme” che devono essere prese in considerazione.

Ora rispondo ad Ivana.
Ivana, a mio parere c'è una grandissima differenza fra il mio e il tuo approccio a questi tipi di problematiche, estremizzando potremmo quasi dire che:
ti ti confronti con quello che dicono gli altri (cosa più che giusta, diciamo “doverosa”), ma mi pare che le conclusioni siano quasi dedotte in maniera “democratica”, come dire: “a maggioranza” vince ...).
io vado per conto mio e valuto l'oggetto della ustione “come se nessuno ne avesse mai parlato prima”, e se trovo una posizione di “un grande” che non ha esplicitato le sue motivazioni, faccio come se non avesse detto nulla.

Ho esagerato, sia chiaro, però mi sembra che “ci sia del vero” ...
Comunque ti chiedo di rispondermi anche con motivazioni intrinseche ai singoli punti delle mie tesi (spero di essermi spiegato e di non aver generato incomprensioni).


Veniamo alla risposta a quanto hai detto (la cito perché era in un altro messaggio)

Ivana ha scritto:

infinito ha scritto:Ivana, lo dissi già a suo tempo (e qui lo ribadisco per chi a quel tempo non c'era ... o per chi ci ha ripensato su), inizialmente il prodotto non "devo avere almeno due fattori", ma "devo avere due fattori". POI eventualmente lo estendo ad altri numeri di fattori, sia maggiori, sia minori di 2. Tu dai per scontata una cosa parziale.

Cerco di esprimere quello che è il mio concetto di prodotto restando nell’ambito dei numeri naturali:
il prodotto è il risultato della moltiplicazione tra due o più fattori.
Io avevo scritto che per fare un prodotto devo avere almeno due fattori, perché
il prodotto di tre o più numeri naturali, dati in un determinato ordine, è il numero che si ottiene moltiplicando il primo numero per il secondo numero e il prodotto ottenuto per il terzo numero ecc.
Anche qui:
http://www.scuolaelettrica.it/media/cla ... ica5.shtml" onclick="window.open(this.href);return false;
si legge:
“nel fare la operazione matematica, detta moltiplicazione servono almeno due numeri”
E qua:
http://www.itchiavari.org/elevpot.html" onclick="window.open(this.href);return false;
si legge:
"siccome un prodotto deve avere almeno 2 fattori, l’esponente della potenza deve essere un numero naturale non minore di 2."
Se prediligiamo la "rigorosità", allora rivolgiamoci a Peano che ha scritto i sei assiomi di N e ha definito le operazioni dell’aritmetica dei numeri naturali.
La moltiplicazione viene definita per mezzo di due posizioni:
$a*0=0$

$a*(b)^+=(a*b)+a$

Specifico che $(b)^+$ significa "il numero naturale successivo di $b$"
Se non erro, una volta provata la validità della legge associativa, cioè che $a*(b*c)=(a*b)*c$ Peano definisce il prodotto fra più fattori: $a*b*c$
Bisognerebbe, però, consultare il Formulario Mathematico di Peano…
Intanto in base5 c’è questa pagina:
http://utenti.quipo.it/base5/scuola/molteor.htm" onclick="window.open(this.href);return false;

Cari saluti
Ivana

«il prodotto è il risultato della moltiplicazione tra due o più fattori» Non concordo: anche dai tuoi link segue che “inizialmente” «il prodotto NON è il risultato della moltiplicazione tra più fattori, ma solo fra due».
«POI eventualmente lo estendo ad altri numeri di fattori, sia maggiori, sia minori di 2. »
Non è un punto secondario, almeno in teoria (secondo me), infatti per quale motivo trovi così naturale estenderlo ai numeri maggiori di 2 ed escludi a priori un'estensione ai numeri minori di 2?

Ivana ha scritto:"siccome un prodotto deve avere almeno 2 fattori, l’esponente della potenza deve essere un numero naturale non minore di 2."

Se sto parlando ai ragazzi delle elementari sicuramente concordo. Se sto parlando con te no.
Infatti oltre alle motivazioni di cui sopra, mi sembra un discorso del tipo: «ovviamente 5 non può essere diviso per 2». È chiaro che se sto lavorando all'interno dei numeri interi allora è vero, ma se son “in generale”, posso anche introdurre i razionali (o altri insiemi) e dividere 5 per 2, senza difficoltà. Così è qui: come si sa che “se non ho figli” allora tutti i miei figli sono femmine (e alle elementari potrei avere difficoltà a farlo capire) così possiamo arrivare a capire il prodotto di uno o zero fattori.

Ivana ha scritto:Se non erro, una volta provata la validità della legge associativa, cioè che a*(b*c)=(a*b)*c Peano definisce il prodotto fra più fattori: a*b*c

Anche Peano introduce il prodotto di DUE fattori, e poi lo estende. E se comincia con l'estensione ai numeri maggiori di 2 NULLA vieta che noi si possa continuare ad estenderlo anche ai naturali minori di 2. Oppure pensi che poiché non l'ha fatto lui non possiamo farlo neppure noi

Infinito, adesso non ho il tempo di leggere con attenzione e di risponderti, provvederò appena possibile...

Premetto di voler evitare qualsiasi dissezione obitoriale dei messaggi altrui, perché temo che tale modo di procedere possa scoraggiare i lettori dalla partecipazione attiva alla discussione. Inoltre cercherò di essere concisa, perché la netiquette consiglia l’invio di messaggi sintetici.

Come ripeto, Peano HA DIMOSTRATO rigorosamente la validità della legge associativa e ha definito il prodotto tra più fattori…(Rimando al Formulario Mathematico di Peano per chi volesse approfondire gli sviluppi dell'aritmetica di Peano)
I links da me segnalati sono stati cercati e trovati a posteriori (per verificare che la mia idea che per fare un prodotto debba avere almeno due fattori non fosse peregrina e ho constatato che anche altri usano tale avverbio) I links da me inseriti in un messaggio precedente conducevano a pagine scritte, la prima, da Pietro De Polis e la seconda da Franco Castagnola.
Pietro De Polis insegna Elettronica, come docente di ruolo, dal 1986 presso diverse Scuole Statali Superiori. (Riporto quanto scritto da Pietro De Polis: Quando facciamo la moltiplicazione dei numeri tra di loro otteniamo un numero finale, diverso dai precedenti. Il numero che otteniamo rappresenta il risultato della moltiplicazione; il numero che otteniamo lo chiamiamo: prodotto.
Per cui nel fare la operazione matematica, detta moltiplicazione servono almeno due numeri; ognuno dei due numeri si chiama fattore; il terzo numero che otteniamo lo chiamiamo prodotto tra i due numeri.)
Franco Castagnola è stato titolare di Matematica nel Corso Geometri fino all'a.s. 2000-2001 e riporto quanto da lui scritto: Dal momento che potenza vuol dire prodotto di fattori uguali, e siccome un prodotto deve avere almeno 2 fattori, l’esponente della potenza deve essere un numero naturale non minore di 2.
Ho cercato anche nel libro “Algebra per la scuola media” di Giuseppe ZWIRNER Edizioni CEDAM PADOVA e a pagina 48 si legge: "Siccome un prodotto deve avere almeno due fattori…”

Comunque, la matematica è bella perché ci lascia liberi di effettuare le scelte che riteniamo più adeguate agli obiettivi che ci prefiggiamo…

Sempre velocemente, e, per quanto io riesca, brevemente, aggiungo che il primo approccio alla moltiplicazione con gli alunni della scuola primaria è, a mio avviso, il raddoppiare e il triplicare…
Ora, invece, cerco di spiegare il mio “modus cogitandi”:
Indico con $T$ una generica operazione, cioè una legge di composizione in forza della quale a ogni coppia di elementi m e n, corrisponda un terzo elemento p
$mTn=p$
(m composto n uguale p)
Se voglio eseguire una composizione del tipo $(aTb)Tc = a T (bTc)$ prescindendo dall’ordine della composizione, ma mantenendo l’ordine dei termini, allora la legge $T$ si dice associativa. È associativa l’addizione ed è associativa la moltiplicazione.
L’associatività dell’addizione e della moltiplicazione è stata provata da Peano, senza bisogno di “estensioni”, o no?

Allora "senza dissezioni".


Mi pare che anche questa volta ci siano delle incomprensioni.

Chiedo quindi a chi voglia partecipare, di aver chiari alcuni punti di partenza, su quello che considero valido e quello che propongo "di nuovo":



Do per scontato che tutti noi siamo d'accordo su:

1° - Generalmente il prodotto fra due naturali nasce come operazione binaria, per cui è vero che «il prodotto è binario.» È quindi inutile cercare di convincermi di ciò (a meno di volermi evidenziare alcune precisazioni).

2° - Generalmente si accetta che il prodotto possa essere iterato, in modo da definire anche il prodotto di un numero n di fattori con n>1.
Questa è già una estensione del prodotto come inteso nel punto precedente, ma credo che non presenti perplessità per “nessuno”. Anche nella definizione di potenza si “passa sopra” alle eventuali difficoltà nel definire il prodotto di n fattori con n maggiore di 2, nel senso che è pacifico che “esiste e si può fare”.





La mia richiesta era riferita alla possibilità di definire qualcosa che evidentemente per diverse persone era “nuova”, e cioè:

3° - Estendere il concetto di prodotto anche a “prodotto di un solo fattore”.

4° - Estendere il concetto di prodotto anche a “prodotto di 0 fattori”.

5° - Valutare se è auspicabile che diventi “patrimonio comune”, cioè una “definizione standard.






Se si da per chiaro quanto sopra si capisce che trovo naturale che «Peano abbia dimostrato rigorosamente la validità della legge associativa» e che «abbia definito il prodotto tra più fattori», mi sarei “stupito” se avesse dimostrato il contrario.

Trovo parimenti ovvio che se ho definito il prodotto solo per un numero di fattori maggiore di uno, allora «un prodotto deve avere almeno 2 fattori».


Quindi chiedo se ci sono problemi, difficoltà, inestetismi, ecc. ad ESTENDERE il concetto di “prodotto di n fattori” anche a n<2.

Ho capito che “nessuno lo ha ancora fatto” (e questo sì che mi stupisce), ma voi che cosa ne pensate?


E dicendo "voi" non mi riferisco solo ai “matematici” qualificati, ma a chiunque, specialmente qui su Base Cinque. Se qualcuno si accorge che Tizio ha detto delle castronerie potrà semplicemente dirlo, e ci si confronta, come Daniela ed Ivana stanno facendo con me.



Ivana ha detto anche che «la netiquette consiglia l’invio di messaggi sintetici.»
... beh, io faccio quello che posso ...(però con questo ho migniorato)

Infinito

Ribadisco (sarà deformazione professionale?) che per la legge associativa: $(a*b)*c=a*(b*c)=a*b*c$

Avevo già detto all'epoca che quando in matematica si vuole estendere un concetto, si usa il principio di permanenza delle proprietà formali...
Lascio, ora, che si esprimano gli altri...
In particolare, Daniela, Simona, dove siete?

Avevo già detto all'epoca che quando in matematica si vuole estendere un concetto, si usa il principio di permanenza delle proprietà formali...

Concordo, e credo che la mia definizione lo rispetti. Se no dimmi quali proprietà formali non rispetta.

Il Formulario di Peano è un'opera straordinaria.
In meno di 500 pagine, condensa ben 4200 proposizioni relative a Logica Matematica, Aritmetica, Algebra, Geometria, Limiti, Calcolo differenziale, Calcolo integrale, Applicazioni alla Geometria e complementi.
Di molte proposizioni sono citate le fonti e spesso i passi originali degli autori che le hanno scoperte.
Ci sono notizie biografiche e bibliografiche degli oltre 300 autori citati.
Di molte proposizioni è data la dimostrazione esplicita.
E c'è una straordinaria quantità di altre informazioni linguistiche, storiche e tecniche.
Leggerlo e studiarlo è sempre una grande emozione, anche se è necessario un piccolo periodo iniziale di apprendimento della notazione matematica usata. La quale, peraltro coincide quasi sempre con quella attuale tranne per l'uso delle parentesi (sostituite in certi casi da puntini) nella formulazione dei teoremi e delle definizioni.
Comunque il formulario contiene anche una tavola dei simboli e tutte le istruzioni per comprendere e utilizzare la notazione.
Da notare che praticamente le stesse convenzioni furono usate da Russell e Witehead per i loro Principia Mathematica e in diversi trattati di Logica Matematica di inizio secolo (1900).
Peano è un GRANDE della matematica.

Basta, ora mi fermo...Peano è anche un maestro di concisione, che tutti dovremmo seguire.

Allego qui sotto le quattro pagine dedicate alla moltiplicazione e all'elevamento a potenza, tratte dal Formulario, Editio V, 1908.

segue...

Gianfranco

...segue...

...segue...

...fine.

Gianfranco e Ivana, mi avete fatto venire una
gran voglia di andare in biblioteca per leggere
finalmente questo famoso formulario

Anch'io sono stato incuriosito dal formulario (per inciso: dove posso scaricarne una "buona" versione?).

Cercandolo in rete sono incappato in «ZERO ... SIA NATURALE» di Carmelo Di Stefano, dove ho letto

P.e. che la somma dei primi n interi sia n(n+1)/2 dimostrata per induzione non ha senso per n=0, né per n=1;

che mi pare l'ennesimo esempio (sono davvero tanti, o meglio:sono "praticamente tutti") dove un teorema generale in cui si parla della somma (o del prodotto, o di altre operazioni) si generalizza anche al caso di 1 o zero addendi.
In soldoni voglio dire che, se si estende la definizione di prodotto secondo la mia proposta, la proprietà per cui «la somma dei primi n numeri naturali positivi è n·(n+1)/2», che secondo il testo è vera solo per n maggiore di 1 diventa vera per ogni n naturale.

(OT: in realtà per come enuncio io quella proprietà il caso "1" era già compreso: «La somma dei numeri naturali da 0 a n è n·(n+1)/2».)

Infinito, hai provato a vedere se il Formulario Mathematico è presente in qualche biblioteca universitaria della tua città?

Anch’io, come Gianfranco, non riesco a immaginarmi il prodotto di zero fattori, o di un fattore; posso pensare al prodotto di fattori zero (cioè di due o più fattori tutti uguali a zero) o al prodotto di fattori uno (cioè di due o più fattori tutti uguali a 1).

Sono consapevole, però, che i progressi nascono spesso da una “disubbidienza” alle regole condivise dalla comunità dei matematici…
Attualmente non ho la forza fisica per addentrarmi in un territorio che mi appare troppo impervio perché non è riuscito, finora, a coinvolgere la mia immaginazione…

Per dare senso a espressioni del tipo seguente:

io non penso al concetto di prodotto, ma al principio di permanenza delle proprietà formali...