Né l'uno né l'altro.

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Moderatori: Gianfranco, Bruno

Né l'uno né l'altro.

Messaggioda Bruno » mar ott 31, 2017 6:16 pm

Sommando a 19 un multiplo di 49 oppure 121, si ottengono valori che non sono rappresentabili come somma di due numeri triangolari.
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Re: Né l'uno né l'altro.

Messaggioda Pasquale » ven nov 10, 2017 2:10 am

Considerato che un numero è triangolare se può assumere la forma di n(n+1)/2, nel primo caso proposto occorre verificare se esiste un k tale che:

\frac{n(n+1)}{2} = 49k+19

n^2+n = 98k+38

n = \frac{-1+sqrt{392k+9\cdot 17}}{2}

Visto che 392 non è divisibile nè per 9, nè per 17, ipotizziamo che sia k=17 oppure k=9:
se k=17, il radicando sarà R=17 \cdot  401, che non è un quadrato perfetto, così come per k=9, ove R=9 \cdot 409.
Peraltro, se così non fosse stato, sqrt(R) avrebbe dovuto essere dispari.

Allo stesso modo si procede per il caso del 121, che pure non produce numeri triangolari.
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Re: Né l'uno né l'altro.

Messaggioda Bruno » ven nov 10, 2017 8:32 am

Pasquale, la questione riguarda la somma di due numeri triangolari.
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Re: Né l'uno né l'altro.

Messaggioda Pasquale » ven nov 10, 2017 3:45 pm

Ops, piccola svista, ogni tanto fa bene alla salute, pardon.
Dunque, occorre dimostrare che dati due generici numeri triangolari non è possibile che sia:

\frac {a(a+1)}{2}+\frac{b(b+1)}{2}=49k+19 oppure \frac {a(a+1)}{2}+\frac{b(b+1)}{2}=121k+19

Guardando al primo caso, non dissimile dal secondo, certamente nessuno può semplicemente asserire che:

\frac {a(a+1)}{2}=49k e \frac{b(b+1)}{2}=19 o che \frac {a(a+1)}{2}=19 e \frac{b(b+1)}{2}=49k, essendo il 19 un primo, ma non so se questo è sufficiente ad escludere le eguaglianze di cui sopra.
Ultima modifica di Pasquale il ven nov 10, 2017 5:51 pm, modificato 1 volta in totale.
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Re: Né l'uno né l'altro.

Messaggioda Bruno » ven nov 10, 2017 5:49 pm

Ciò che metti evidenza non ti aiuta, no.

In certi casi può convenire ricondurre il problema ad altri numeri figurati, più facili da trattare, direi così :wink:
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Re: Né l'uno né l'altro.

Messaggioda Pasquale » dom nov 12, 2017 3:40 pm

Dunque, vediamo di dimostrare che 19+49k può essere uguale alla somma di due numeri triangolari. Lo stesso procedimento verrebbe poi applicato per il caso di 19+121k.

Premesso che un numero triangolare può essere espresso sotto forma di a(a+1)/2, per la dimostrazione di cui sopra, necessita che sia:

1) \frac{a(a+1)}{2} + \frac{(a+x)(a+x+1)}{2} = 19 + 49k

in cui nella somma dei due numeri triangolari, il secondo addendo è maggiore del primo ed a,x,k interi positivi.

Sviluppando:

a^2 + a + a^2 + ax + a + ax + x^2 + x - 38 - 98k = 0

2a^2 + 2(x+1)a + x^2 + x - 38 - 98k = 0

2) a = \frac {-(x+1) + sqrt{196k+77-x^2}}{2}

Dalla 2) si deduce che la 1) è vera soltanto se sono possibili tutte le seguenti condizioni, nessuna esclusa:

a) x^2 \le 196k + 77; x \le sqrt{196k +77}, assumendo come validi solo valori interi di x

b) nell’ambito dei valori di x ammissibili, necessita che ve ne sia almeno uno per cui:
196k + 77 – x^2 = quadrato perfetto

c) infine, se a) e b) sono possibili, occorre anche che sia -(x+1) + sqrt{196k +77 -x^2} pari e positivo.

In definitiva, se si sceglie un k per il quale una delle x ammesse in base a tale scelta sia tale che le condizioni a), b) e c) siano verificate, allora possiamo dire che può esistere un 49k+19 uguale alla somma di due numeri triangolari.
Empiricamente, ma in un campo ristretto, questa circostanza non si è verificata; tuttavia ai fini di quanto enunciato nel testo del quesito, credo sia necessario e sufficiente dimostrare che 196k +77-x^2 non è mai un quadrato perfetto per qualsiasi k e qualsiasi x da questo dipendente: finora non mi è riuscito di farlo, ma qualcun altro ne sarà capace, ammesso che il procedimento da me prescelto sia il più conveniente possibile.

Ad ogni modo stavo lavorando su alcuni spunti per trarne qualcosa di utile: \text 196*1=14^2 ; 196*2 =2*14^2; 196*3=3*14^2 ..... I numeri dispari di differenza fra un quadrato ed il successivo....comparazione con il 77.... e le x valide per ogni k.....
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Re: Né l'uno né l'altro.

Messaggioda Bruno » dom nov 12, 2017 8:24 pm

Come al solito, Pasquale, sei formidabile :D

Il tuo ragionamento è corretto.

Pasquale ha scritto:196k +77-x^2 non è mai un quadrato perfetto per qualsiasi k e qualsiasi x


Ciò significa che $\;\small{196\cdot k +77}\;$ non è mai esprimibile come somma di due quadrati, sei d'accordo?

Bene, per confermare questa ipotesi si può utilizzare un teorema che riguarda proprio i numeri rappresentabili come somma di due quadrati.

In alternativa, osservando che l'espressione appena scritta è divisibile una sola volta per 7, si può escludere che i due quadrati siano entrambi multipli di 7.
Si potrebbero allora valutare, in questa direzione, i restanti casi significativi (non molti) che si presentano riducendo le basi dei quadrati rispetto ai multipli di 7, giusto per mettere un po' le mani in pasta...

Pasquale ha scritto:finora non mi è riuscito di farlo, ma qualcun altro ne sarà capace...

Secondo me, tu pure ne sei capace :D
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