Matematica, arte e dintorni

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Moderatori: Gianfranco, Bruno

mathmum
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Matematica, arte e dintorni

Messaggio da mathmum »

Nel 1895 N. Bogdanov-Belsky dipinse una lezione di un tale Prof. Rachinsky, che, lasciato l'insegnamento di scienze naturali all'università, si dedicò all'insegnamento della matematica nella scuola del suo piccolo paese, con un'attenzione particolare al calcolo "a mente", basato sull'applicazione delle proprietà dei numeri.

Eccolo qui:
Immagine

Ok, non si vede moltissimo la lavagna, quindi vi riporto il problema che il prof. aveva posto ai suoi studenti:
$\frac{10^2+11^2+12^2+13^2+14^2}{365}=?$

Vi dico che il risultato è 2, e sta a voi scoprire quale proprietà di questi numeri possa essere stata utilizzata per risolvere il calcolaccio a mente.

E poi, se volessimo generalizzare... sarà questa l'unica successione di 5 termini consecutivi che godono della stessa proprietà???

Buon divertimento (spero solo di non avere proposto un problema già visto...)
Ciao
Simona
mathmum

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Br1
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Re: Matematica, arte e dintorni

Messaggio da Br1 »

Ciao, Simona :D

Meravigliosa idea quella di proporre le questioni
matematiche attraverso l'arte: grande!



La prima cosa che ho pensato è stata questa :roll:

Sarà costante 365? e perché mai? forse perché
ricorda i giorni dell'anno?

In realtà, il denominatore me lo sono riscritto così:
365 = (10·4+11·5+12·6+13·7+14·8)-5,
perciò, concentrandomi sul quadrato centrale e
chiamandolo 4m², vedo subito che il rapporto fra
(2m-2)²+(2m-1)²+4m²+(2m+1)²+(2m+2)² = 10(2m²+1)
e
(2m-2)(m-2)+(2m-1)(m-1)+2m·m+(2m+1)(m+1)+(2m+2)(m+2)-5 = 5(2m²+1)
è sempre uguale a due e non mi serve affatto la
calcolatrice per calcolarlo :mrgreen:


Se lascio costante 365=73·5, invece, posso senz'altro
trovare infinite cinquine di numeri consecutivi
capaci di rendere intero quel tipo di rapporto, basta
concentrarsi sulla divisibilità per 73 del quadrato
centrale più 2. Dopo aver visto che 144+2=146=73·2,
se chiamo il quadrato centrale, allora tutte le
cinquine derivate da n=73k±12 sono di certo valide.
Ma sul calcolo a mente non mi pronuncio :roll:

(Salvo svistefretta et equivocaggini...)



Passo e chiudo e mando un saluto per tutti :D
Bruno

delfo52
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Re: Matematica, arte e dintorni

Messaggio da delfo52 »

io faccio i conti così
approssimativamente il numeratore è la somma di 5 addendi abbastanza simili
in prima approsimazione è come moltiplicare l'addendo centrale per 5
144x5
per fare prima, divido per 2 (144;2= 72) e aggiungo 0 a destra = 720
adesso devo arrotondare per via del fatto che i 5 addendi non sono uguali
i due a destra, che sono più grandi di 144, "sballano" in eccesso di 25 e di 25+27 = 25+52
i due di sinistra, che "sballano" per difetto, comportano una riduzione di 23 e di 23+21 = 23+44
i due membri delle due coppie di addendi differiscono di +2 e +8, per cui
il bilancio dell' arrotondamento è di "+10"
720 + 10 = 730
che è il doppio di 365

sono tutti conti che si possono davvero fare senza carta e penna
Enrico

Sancho Panza
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Re: Matematica, arte e dintorni

Messaggio da Sancho Panza »

Concordo con Enrico Delfini

Infatti:
$\left( {a - 2} \right)^2 + \left( {a - 1} \right)^2 + a^2 + \left( {a + 1} \right)^2 + \left( {a + 2} \right)^2 = 5a^2 + 10$

Con a = 12, si ha: 5a² + 10 = 5*144 + 10 = 730

Hasta la vista,
Sancho Panza

N.B.
In seguito alla tua segnalazione, ho corretto la formula.
Grazie Ivana
Ultima modifica di Sancho Panza il mar apr 22, 2008 9:56 pm, modificato 1 volta in totale.

delfo52
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Re: Matematica, arte e dintorni

Messaggio da delfo52 »

Di fronte a questo post che si presta mirabilmente ad esercizi di "matematica approssimativa", non posso esimermi dal
SEGNALARE
Keith Devlin "L'istinto matematico" perchè sei anche tu un genio dei numeri (Raff.Cortina 2007)
L'autore è noto per precedenti libri sempre sull'argomento
Questa ultima fatica è particolarmente indicata per docenti di ogni ordine e grado.
Presenta spiegazioni ed esempi assai convincenti per dimostrare la abissale differenza tra la matematica formale e la aritmetica della vita di tutti i giorni.
Ben scritto; ottimamente tradotto; gradevole, spiritoso, facile ma profondo.
Lo consiglio caldamente
Enrico

Ivana
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Re: Matematica, arte e dintorni

Messaggio da Ivana »

Bello!!!
Bravissimi!!!

Grazie, Enrico, per la segnalazione del libro...
Attualmente sto leggendo "Matematica la perdita della certezza" di Morris Kline, ma, appena possibile, cercherò il libro da te segnalato...


Sancho, credo ci sia un errore di battitura, perché al posto di un + compare un -
Ecco l'espressione senza errore di battitura:
$(a-2)^2+(a-1)^2+a^2+(a+1)^2+(a+2)^2=5a^2+10$
Immagine
"L'essenza della matematica è la libertà" (Georg Cantor)

mathmum
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Re: Matematica, arte e dintorni

Messaggio da mathmum »

Se date un'occhiata al quadro, gli studenti (per quanto russi e quindi per definizione ben-educati alla matematica) sembrano "alquanto giovincelli" e quindi probabilmente "poco avvezzi" al calcolo polinomiale (oh, ma come parlo stamattina? sono invecchiata di colpo di 100 anni! :mrgreen: )

(ah ecco: OT Auguri alla Levi Montalcini, donna di grande intelligenza, coraggio e intraprendenza che compie ben 99 anni)

Ritorniamo ai numeri.
Come dicevo, l'intento del prof. era insegnare ai suoi studenti come sfruttare le proprietà di certi numeri, in modo da semplificare il calcolo a mente.

Nel nostro caso, i numeri 10, 11, 12, 13 e 14 hanno la caratteristica che $10^2+11^2+12^2=13^2+14^2$.
Se scomponiamo adeguatamente il denominatore 365=100+121+144 ci accorgiamo in un attimo che il calcolo proposto ha come risultato 2.

La generalizzazione della proprietà utilizzata ci pone il problema: è questa l'unica successione di 5 interi consecutivi, tale che la somma dei quadrati dei primi 3 è uguale alla somma dei quadrati degli ultimi 2?

E qui naturalmente ci basta risolvere un'equazione, come ad esempio:
$(x-1)^2+x^2+(x+1)^2=(x+2)^2+(x+3)^2$
per avere come soluzione, oltre alla quintupla di cui sopra, anche la quintupla -2, -1, 0, 1, 2.
Queste due quintuple sono anche dette sequenze di Rachinsky.

Buona giornata a tutti.
Simona
mathmum

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Br1
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Re: Matematica, arte e dintorni

Messaggio da Br1 »

Aaaah... già :D

Ma allora possiamo indicare un'altra
generalizzazione carinissima, che parte
da qui:

[2n(n-1)-(n-1)]²+[2n(n-1)-(n-2)]²+...+[2n(n-1)-2]²+[2n(n-1)-1]²+[2n(n-1)]²
= [2n(n-1)+1]²+[2n(n-1)+2]²+...+[2n(n-1)+(n-2)]²+[2n(n-1)+(n-1)]²


Un'identità verificabile quasi a colpo d'occhio.
Se il denominatore della frazione è uguale al
primo membro e il numeratore alla somma di
entrambi i membri, si ha lo stesso effetto
spiegato da Mathmum.

Col mio non mi pronuncio, di fatto, volevo
proprio stuzzicare Enrico :D
Intravista la sua idea, l'ho però abbandonata
perché non sono riuscito a scorgere un'idea più
generale che renda il calcolo mentale pratico
come nel caso numerico visto. Magari è evidente,
chissà, comunque il calcolo mentale non è il mio
forte :roll: (Anche per stabilire che 10²+11²+12²
è pari a 13²+14² mi toccherebbe scribacchiare
qualcosa :mrgreen:)

Mi colpisce sempre vedere come di fronte a uno
stesso problema ognuno prenda allegramente le
sue strade... In effetti, è simpatico constatare
che sull'espressione scritta alla lavagna si possano
dire cose fra loro decisamente diverse ma tutte
vere, rispetto alle varie licenze interpretative :D

Simona, sei proprio una gran prof :wink:
Ma anche Enrico non scherza con le sue chicche!

Ollà, volo!


>>> EDIT: Auguri alla Montalcini anche da parte mia!
Bruno

delfo52
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Re: Matematica, arte e dintorni

Messaggio da delfo52 »

grazie dei complimenti.
Credo che, a parte una certa inclinazione naturale (a cui credo solo parzialmente, il segreto, che poi segreto non è, è cercare di vedere, al di là dei numeri (intesi come simboli astratti), qualche cosa di più concreto, familiare, maneggiabile.
Per un ragazzo per cui 12^2 e 13^2 sono due "geroglifici", il problema è insormontabile.
Che tra 12^2 e 13^2 la "distanza sia pari a 12+13 , uno lo può imparare a memoria, con la certezza di dimenticarlo appena passa un tempo epsilon-piccolo-a-piacere...oppure
a qualcuno sarà utile vedere le cose attraverso la geometria, con due bei quadrati su carta a quadretti, e i due rettangoli da aggiungere al 12^2 per arrivare a 13^2
a qualcuno, è il mio caso, serve di più passare attraverso la rappresentazione linguistica.
a partire da qualcosa che si chiama 12volte12, con due passi, passo per 12volte13 e poi a 13 volte13, avendo aggiunto prima un 12 e poi un 13.
capisco che a qualcuno appaia confuso e complicato, ma a me...piace.
e ogni volta , in un certo senso, reinvento la ruota, invece di applicare in modo automatico algoritmi che non sento miei.
nel libro che segnalavo, si fa un esempio a proposito della difficoltà di imparare la somma di frazioni (es 3/7 + 4/9) e si espone quello che è presentato come il procedimento "standard". Mi è parso del tutto inedito !
secondo questo meccanismo, si parte scrivendo la linea di frazione, e si mette al denominatore il prodotto dei due denominatori, lasciando in sospeso il numeratore xxx/(7x9)
poi si passa a fare due moltiplicazioni: ogni numeratore di partenza per il denominatore dell'altra frazione iniziale, e si sommano i due prodotti (3x9)+(4x7) / (7x9)
27+28 / 63
55/63
giuro che non ricordavo nulla di simile. il "mio" algoritmo, nei fatti è molto simile, ma concettualmente mi pare diversissimo.
leggendo a voce alta "tre settimi più quattro noni" mi accorgo che si cerca di sommare "pere con biciclette", per cui devo cercare un "nome comune" con cui esprimere le cose da sommare. Che sia il mcm, o il prodotto o qualsivoglia diavoleria, lo scopo è arrivare ad avere due frazioni con lo stesso denominatore "prima" di cominciare a fare i conti. E' per me fondamentale passare attraverso 27/63 e 27/63 staccati.
Solo così si può fare la somma.
Questo mio arzigogolo può apparire demenziale, ma comincia a mostrare qualche vantaggio pratico quando le frazioni da sommare sono più di due.
Ma l'aspetto più importante è che (e qui Devlin sembra darmi ragione) considerare i "settimi" e i "noni" come delle "cose", si resta nel concreto e non si sbanda nell'astratto. Si può, in un certo senso, rifarsi ad un modello precedente, già noto e padroneggiato (quello delle pere e delle biciclette).
Enrico

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Re: Matematica, arte e dintorni

Messaggio da Ivana »

Condivido quanto scritto dal grande Bruno riguardo all'apprezzamento per Enrico e per Simona... :)
Inoltre, credo che le risoluzioni elegantemente più semplici siano le più difficili da scoprire...

Enrico, a parte qualche necessaria parentesi (da te dimenticata nella tastiera :) ) il meccanismo citato è proprio quello che io, ragazzina, avevo imparato subito, ma mi ero accorta ben presto che non sempre era conveniente seguirlo...
Nel caso di denominatori il cui m.c.m. coincida proprio con il loro prodotto, il meccanismo è perfetto, ma quando il m.c.m. non coincide con il prodotto dei denominatori, allora tale meccanismo condurrebbe a calcoli noiosissimi e non è conveniente seguirlo...

La cosa strana, invece, è che esiste la cosiddetta "aritmetica del baseball" dove il segno "+" tra frazioni assume il significato di "sommare separatamente numeratori e denominatori"... :D
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peppe
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Re: Matematica, arte e dintorni

Messaggio da peppe »

Enrico ha scritto:
...si mette al denominatore il prodotto dei due denominatori...
che nel caso specifico sono 9 e 7.
Bene,supponiamo che nel fare il calcolo,per un improvviso vuoto di
memoria,(può succedere,anzi succede...) non ci si ricordi più
la tabbellina del nove,ecco un metodo super veloce
capace di fare invidia a un computer:
1) aprite tutte le 10 dita.
2) contate da SINISTRA a destra fino al numero che volete moltiplicare per nove (7 nel nostro caso)
3) cominciate dal mignolo sinistro,poi passate all'anulare e cosi via
4) il 7° dito è l'indice della vostra mano destra,che dovrete piegare all'ingiù.

A questo punto avrete l'esito della moltiplicazione sotto gli occhi:
6 dita a sinistra di quello piegato e 3 a destra.Il risultato è 63.
Provare per credere.
Peppe

Pasquale
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Re: Matematica, arte e dintorni

Messaggio da Pasquale »

Questa di Peppe sulle moltiplicazioni per 9 è troppo forte e dunque bisogna spiegare perché funziona
_________________

$\text { }$ciao Immagine ciao
E' la somma che fa il totale (Totò)

Ivana
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Re: Matematica, arte e dintorni

Messaggio da Ivana »

Credo che la "formula matematica giustificativa" :) sia la seguente:

$10 [9-(10-x)]+(10-x) = 9x$

Edito per aggiungere che credo sia superflua (dal momento che mi rivolgo ai bravissimi basecinquini) una mia spiegazione dettagliata riguardo a come sono giunta a impostare quella che ho chiamato "formula matematica giustificativa" :)

Esistono tecniche di moltiplicazione manuale per le moltiplicazioni dei numeri naturali compresi fra 5 e 10 e anche dei numeri naturali compresi fra 10 e 15. Le conoscete anche voi?
Ultima modifica di Ivana il ven apr 25, 2008 6:58 am, modificato 8 volte in totale.
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Re: Matematica, arte e dintorni

Messaggio da karl »

Non è elementare ma è divertente uguale.Detta S la somma a numeratore si ha:
$S=\sum_{k=1}^{14} k^2-\sum_{k=1}^9 k^2$
Ovvero (per una nota formula) :
$S=\frac{14\cdot15\cdot 29}{6}-\frac{9\cdot10\cdot 19}{6}=730$
Dunque :
$\frac{S}{365}=2$
karl

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Re: Matematica, arte e dintorni

Messaggio da peppe »

Questa di Peppe sulle moltiplicazioni per 9 è troppo forte e
dunque bisogna spiegare perché funziona
pasquale

Ecco la ragione per cui funziona il trucco:nella tabellina del nove la somma delle cifre
che rappresentano le unità e di quelle che rappresentano le decine è sempre 9.
Per maggiore precisione,di volta in volta,in progressione,la cifra delle decine aumenta sempre
di uno, e quella delle unità diminuisce di 1.
Peppe

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