Matematica, arte e dintorni

Il forum di Base5, dove è possibile postare problemi, quiz, indovinelli, rompicapo, enigmi e quant'altro riguardi la matematica ricreativa e oltre.

Moderatori: Gianfranco, Bruno

Re: Matematica, arte e dintorni

Messaggioda peppe » ven apr 25, 2008 4:21 pm

Esistono tecniche di moltiplicazione manuale per le moltiplicazioni dei
numeri naturali compresi fra 5 e 10...
Ivana

Trascrivo dalla mia fonte:

[...]
Il secondo trucco che voglio confidarvi è un po', più complesso e molto diverso
dal precedente,ma servirà a fare molti più calcoli:non solo a moltiplicare per 9,ma anche
per 6,7 e 8.Poniamo che vogliate calcolare quanto fa 7 x 8.
La vostra mano sinistra sta per il primo fattore,e cioè per il 7,la destra per il secondo
fattore,e dunque per l'8.
Innanzi tutto dovete integrare il primo numero fino a ottenere 10:<<Quanti ce ne vogliono
dal 7 al 10?>> E' chiaro:occorre aggiungerne 3 al 7.Quindi sollevate tre dita della mano sinistra.
Fate lo stesso con il secondo fattore:<<Quanti ce ne vogliono dall'8 al 10?>> Non è
difficile:occorre aggiungerne 2 all'8,e quindi alzate due dita della mano destra.
A questo punto alcune dita sono protese in alto mentre altre sono abbassate.
Le dita puntate verso il basso sono quelle <<pesanti>>:quelle cioè delle decine.
Nel caso vostro ci sono cinque dita rivolte all'ingiù,e questosignifica 50.
Le dita protese verso l'alto sono invece quelle per arrivare a stabilire la cifra delle unità.
Ma stavolta non sommando i numeri,bensì moltiplicandoli!
E quindi calcolerete:2 x 3 = 6.
complessivamente avrete dunque 50 + 6,ovvero 56,e cioè il risultato che cercate.
Uff! Non sostengo che questo metodo sia più semplice di quello tradizionale.Però è più divertente.
Basta conoscere le tabelline più semplici (saper cioè moltiplicare per 2,3,4 e 5) per scoprire tutti
i numeri della tavola pitagorica!

A proposito... ma come facevano i romani a calcolare XIV per XXIII,dal momento che
introducendo una semplificazione nella scrittura delle cifre,i romani si fecero lo sgambetto da soli?

Ovvero non scrissero più IIII per rappresentare il 4,ma IV, e cioè 5-1. Invece di XXXX preferirono XL
(che non significa Extra Large [N.d.P :lol: ]) bensì 50-10.
Il che ha degli ovvi vantaggi quando bisogna scolpire i numeri nella pietra,ma per il calcolo le
conseguenze sono catastrofiche.
Perché una cifra a questo punto può avere significati differenti:normalmente I sta a dire che occorre
aggiungere 1,ma se I precede V o X,allora significa che l'1 va sottratto.
A questo punto viene spontaneo,domandarsi:ma allora i romani come calcalovano?
Perché dovevano pure calcolare.Senza calcoli non avrebbero potuto costruire il Colosseo né amministrare
un impero universale.
Ultima modifica di peppe il lun apr 28, 2008 3:40 pm, modificato 1 volta in totale.
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Re: Matematica, arte e dintorni

Messaggioda Gianfranco » ven apr 25, 2008 10:58 pm

Bravissima Simona!
Ti ringrazio per averi fatto conoscere questo dipinto bellissimo e molto istruttivo.
Lo mostrerò ai miei alunni e proporrò loro di risolvere l'esercizio.
Hanno molto da imparare da questo quadro e non solo di matematica!

BASE Cinque è sempre stata molto sensibile ai collegamenti fra la matematica e le arti: pittura, scultura, architettura, musica, letteratura, poesia, ...

Ben vengano altri esempi!

Buon fine settimana a tutti
Gianfranco
Pace e bene a tutti.
Gianfranco
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Re: Matematica, arte e dintorni

Messaggioda peppe » sab apr 26, 2008 10:59 am

Qual è la radice tredicesima di:
1.265.437.718.438.866.624.512 ?

Non affannatevi a contare le cifre,sono 22.

E la radice quinta di 1.350.125.107 ?

Sembrano domande da <<Scommettiamo che...>>,e invece...
non dovrebbero spaventarci più di tanto,se,ovviamente, si conosce il "trucchetto"
che facilita la soluzione.
peppe
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Re: Matematica, arte e dintorni

Messaggioda peppe » sab apr 26, 2008 11:54 am

Oggi sono in vena di caVolate :lol: :lol:

Si consideri la griglia numerica:
7---8---9

4---5---6

1---2---3

Essa rappresenta il modo in cui sono disposte le cifre dall'1 al 9 su una normale calcolatrice.

Dicesi numero U il numero che si ottiene battendo sui tasti della calcolatrice secondo questa sequenza:
1) batto sul tasto della cifra 4
2) scendo di un posto in verticale e clicco sull'1
3) mi sposto a destra di un posto e digito la cifra 2
4) salgo in veticale di un posto e premo il 5

Alla fine ho mentalmente disegnato una bella U con le cifre 4 1 2 5
e che per questo motivo chiamo numero U.

Osservando la griglia,si può notare che le quattro cifre,rappresentano i vertici di uno
dei tanti quadrati che si possono ottenere.

7---8---9

4---5---6

1---2---3


Il numero U 4512 e tutti i restanti numeri U ottenibili nel modo sopra (faticosamente) indicato,
sono divisibili per 11

E ora siamo giunti al fatidico...perché ?
--
N.B.
Anche 7139, 7469, 8239,ecc. sono numeri U
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Re: Matematica, arte e dintorni

Messaggioda Quelo » dom apr 27, 2008 10:48 am

peppe ha scritto:Qual è la radice tredicesima di:
1.265.437.718.438.866.624.512 ?

Non affannatevi a contare le cifre,sono 22.

E la radice quinta di 1.350.125.107 ?

Sembrano domande da <<Scommettiamo che...>>,e invece...
non dovrebbero spaventarci più di tanto,se,ovviamente, si conosce il "trucchetto"
che facilita la soluzione.


Il trucchetto a cui si riferisce peppe dovrebbe essere il fatto che tutte le potenze (intere) di questo tipo: x^{4n+1} terminano con la stessa cifra della base.
Questo restringe molto il campo di ricerca, nel primo caso avremo che la radice termina con 2 mentre nel secondo con 7.
In entrambe i casi il numero cercato è compreso fra 10 e 100, infatti

10 \, < \, y \, < \, 100 \,\to\, 10^{13}\, < \, y^{13} \, < \, 10^{26}

10 \, < \, x \, < \, 100 \,\to\, 10^5\, < \, x^5 \, < \, 10^{10}

Restringiamo ulteriormente il campo:

10^{21}\, < \, y^{13} \, < \, 2 \cdot 10^{21}

50^{13} = \frac{100^{13}}{2^{13}} = \frac{10^{26}}{8192} \,>\, 10^{22} \,>\,  y^{13}

25^{13} = \frac{100^{13}}{4^{13}} = \frac{10^{26}}{8192^2} = \frac{10^{20}}{8,192^2} \,<\, 10^{20} \,<\,  y^{13}

40^{13} =  4^{13} \cdot 10^{13} = 8192^2 \cdot 10^{13} = 8,192^2 \cdot 10^{19} \,<\, 10^{21} \,<\, y^{13}

quindi y = 42

10^9\, < \, x^5 \, < \, 2 \cdot 10^{9}

50^5 = \frac{100^5}{2^5} = \frac{10^{10}}{32} \,<\, 10^9 \,<\,  x^5

75^5 = \frac{3 \cdot 100^5}{4^5} = \frac{243 \cdot 10^{10}}{1024} \,>\,  2 \cdot 10^9 \,>\,  x^5

60^5 =  2^5 \cdot 3^5 \cdot 10^5 = 32 \cdot 243 \cdot 10^5 \,<\, 10^9 \,<\,  x^5

quindi x = 67

SE&O

=========================

Aggiungo che i numeri U sono divisibili per 11 in quanto la somma a segni alterni delle loro cifre da sempre zero, questo perché le prime due cifre sono prese dalla prima o seconda colonna a scendere e la loro differenza è sempre 3 o 6 (a seconda che il passo sia corto o lungo), mentre le seconde due (seconda o terza colonna) sono prese a salire, quindi la loro differenza è sempre -3 o -6.
Ultima modifica di Quelo il lun apr 28, 2008 7:42 pm, modificato 1 volta in totale.
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« La risposta non la devi cercare fuori, la risposta è dentro di te, e però è sbagliata » Parola di Quelo
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Re: Matematica, arte e dintorni

Messaggioda peppe » lun apr 28, 2008 3:40 pm

Il trucchetto a cui si riferisce peppe dovrebbe essere il fatto che
tutte le potenze (intere) di questo tipo:x^{4n+1} terminano con la stessa
cifra della base...
Quelo

Infatti oltre alla radice quinta e tredicesima,il giochetto funziona con la
radice nona,diciassettesima,ecc.perché 5,9,13,17,sono numeri
generati dalla formula {4n+1}.

OK! anche per i numeri U

I complimenti sono superflui...e intanto sfriculiando e girovagando ho "scoperto l'acqua calda...":
funzione di Eulero
Ossia che il numero dei coprimi di 18 sono 6,ed esattamente:1,3,5,7,11,13
e anche quelli coprimi con 7 sono 6,ossia:1,2,3,4,5,6 e solo perché 7 è un numero primo.

E' bella e interessante anche la ....Linea di Eulero
...ciao... buon... divertimento da peppe :wink:
Ultima modifica di peppe il lun apr 28, 2008 4:59 pm, modificato 2 volte in totale.
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Re: Matematica, arte e dintorni

Messaggioda Br1 » lun apr 28, 2008 4:30 pm

Ciao, Peppe :D
Non sempre ho tempo per intervenire, ma
ti leggo spesso!
Passavo di qui e allora ne approfitto per
salutarti, così faccio io i complimenti a Sergio,
che forse fan sempre piacere :wink:
Bruno
Br1
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Re: Matematica, arte e dintorni

Messaggioda peppe » lun apr 28, 2008 5:33 pm

...e allora un doppio,caloroso e grande (anzi enorme) grazie anche a te.

Ciao Bruno...ti leggo anch'io con interesse,ovviamente,fin dove riesco a seguirti...
peppe
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Re: Matematica, arte e dintorni

Messaggioda Ivana » mer apr 30, 2008 2:09 pm

peppe ha scritto:
Trascrivo dalla mia fonte:

[...]
Il secondo trucco che voglio confidarvi è un po', più complesso e molto diverso
dal precedente,ma servirà a fare molti più calcoli:non solo a moltiplicare per 9,ma anche
per 6,7 e 8.Poniamo che vogliate calcolare quanto fa 7 x 8.
La vostra mano sinistra sta per il primo fattore,e cioè per il 7,la destra per il secondo
fattore,e dunque per l'8.
Innanzi tutto dovete integrare il primo numero fino a ottenere 10:<<Quanti ce ne vogliono
dal 7 al 10?>> E' chiaro:occorre aggiungerne 3 al 7.Quindi sollevate tre dita della mano sinistra.
Fate lo stesso con il secondo fattore:<<Quanti ce ne vogliono dall'8 al 10?>> Non è
difficile:occorre aggiungerne 2 all'8,e quindi alzate due dita della mano destra.
A questo punto alcune dita sono protese in alto mentre altre sono abbassate.
Le dita puntate verso il basso sono quelle <<pesanti>>:quelle cioè delle decine.
Nel caso vostro ci sono cinque dita rivolte all'ingiù,e questosignifica 50.
Le dita protese verso l'alto sono invece quelle per arrivare a stabilire la cifra delle unità.
Ma stavolta non sommando i numeri,bensì moltiplicandoli!
E quindi calcolerete:2 x 3 = 6.
complessivamente avrete dunque 50 + 6,ovvero 56,e cioè il risultato che cercate.
Uff! Non sostengo che questo metodo sia più semplice di quello tradizionale.Però è più divertente.
Basta conoscere le tabelline più semplici (saper cioè moltiplicare per 2,3,4 e 5) per scoprire tutti
i numeri della tavola pitagorica!


Infatti:
Siano x e y due numeri naturali compresi fra 5 e 10
10 (x+y-10)+(10-x)(10-y)=xy

È possibile moltiplicare i numeri naturali compresi fra 10 e 15 sempre usando le dita…
es:12*13
Si piegano 2 dita di una mano perché 12-10 = 2
si piegano 3 dita dell’altra mano, perché 13-10=3
Si moltiplica per 10 la somma delle dita piegate e si aggiunge il prodotto del numero delle dita piegate di una mano per il numero delle dita piegate dell’altra mano e si aggiunge al risultato ottenuto il numero 100 :
12*13 = 10*5+6+100 = 156

Infatti:
Siano x e y due numeri naturali compresi fra 10 e 15
10[(x-10)+(y-10)]+(x-10)(y-10)+100 =xy
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Re: Matematica, arte e dintorni

Messaggioda delfo52 » mer apr 30, 2008 2:23 pm

Dantzig in un libro del 1962 riporta un metodo di conteggio "manuale<<<<<<2 in uso in Alvergna fino agli anni '30.
Per moltiplicare due numeri maggiori di 5 (ad es. 8x7) si piega in ciascuna mano l'"eccedenza" rispetto a 5 (3 dita in una mano e 2 nell'altra). la somma delle dita piegate dà le decine; il prodotte di quelle rimaste estese le unità.
Enrico
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Re: Matematica, arte e dintorni

Messaggioda Ivana » mer apr 30, 2008 2:30 pm

delfo52 ha scritto:Dantzig in un libro del 1962 riporta un metodo di conteggio "manuale<<<<<<2 in uso in Alvergna fino agli anni '30.
Per moltiplicare due numeri maggiori di 5 (ad es. 8x7) si piega in ciascuna mano l'"eccedenza" rispetto a 5 (3 dita in una mano e 2 nell'altra). la somma delle dita piegate dà le decine; il prodotte di quelle rimaste estese le unità.


Infatti:
(x-5) + (y-5) = x+y-10

5-(x-5) = 10 -x
5-(y-5) = 10-y
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Re: Matematica, arte e dintorni

Messaggioda Ivana » gio mag 01, 2008 8:54 am

Enrico, sotto la tua firma si legge:
(un matematico è una persona per la quale la matematica è una soap opera. K.Devlin)
Da ciò si potrebbe dedurre che tu sia finzionalista :) È così? :)
Il finzionalista rifiuta il platonismo e considera la matematica simile a un romanzo, a un dipinto ecc.
:)
Oppure per te la matematica è solo avvincente (e senza fine :D )come per molti potrebbe essere avvincente una soap opera? :)
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Re: Matematica, arte e dintorni

Messaggioda delfo52 » gio mag 01, 2008 11:28 am

la frase non è mia, come è ovvio.
mi è piaciuta, ma non mi sono soffermato a considerare se la condivido.
Quello che Devlin sostiene, e che è condensato nell'aforisma, è che il cervello di chi "riesce" in matematica è diverso da quello di chi non ce la fa.
E' una differenza funzionale, nel senso che, per motivi che ancora non si conoscono completamente, qualcuno riesce a "mettere in moto" circuiti e meccanismi neurofisiologici che gli consentono di "comprendere" e gestire le entità matematiche con la stessa facilità e spontaneità con cui chiunque riesce a seguire la più stupida e inutile delle attività (la soap opera).
Che poi alcuni aspetti della materia siano, per me e per molti altri, anche avvincenti come un romanzo, è un gradino successivo
Enrico
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Re: Matematica, arte e dintorni

Messaggioda Ivana » ven mag 02, 2008 12:28 pm

La frase, comunque, deve esserti piaciuta particolarmente, avendola tu scelta affinché comparisse sotto la tua firma...
Come avevo scritto qui:
http://www.maecla.it/bibliotecaMatemati ... n.htm#agg1
l’autore chiarisce che non esiste alcun “gene della matematica”, nel senso di una sequenza specifica di DNA umano che conferisca l’abilità matematica a chi lo possieda. Intitolando il libro “Il gene della matematica”, è stata semplicemente adottata una comune metafora, intendendo come “gene della matematica” una “disposizione innata al pensiero matematico”, proprio come a volte si parla di “gene del linguaggio”, per far riferimento alla nostra disposizione innata ad acquisire e a usare il linguaggio. L’argomentazione addotta da Keith Devlin è la seguente: la nostra predisposizione per il linguaggio è esattamente ciò che ci serve per fare della matematica, dal momento che il pensiero matematico non è altro che un modo specializzato di usare la nostra predisposizione per il linguaggio.
Inoltre per K. Devlin la matematica è la scienza degli schemi e delle strutture, per cui reputo che lui non sia un platonista, ma sia “seguace” dello strutturalismo e avendo lui detto quanto compare sotto la tua firma non escludo che sia anche un finzionalista; i finzionalisti dicono che la matematica è “finzione”, “fiction” (storia inventata)… :)
Qui, in base 5, c'è qualche seguace di una "scuola" di pensiero (filosofica) specifica?
Credo, ad esempio, che Francesco Veneziano, stimando moltissimo Hilbert, sia seguace del "formalismo"... :)
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Re: Matematica, arte e dintorni

Messaggioda Pasquale » ven mag 02, 2008 5:12 pm

La scuola di pensiero che non mi dispiace è il cristianesimo, in quanto poche chiacchiere e molti fatti.
_________________

ciao Immagine ciao
\text{ }E' la somma che fa il totale (Totò)
Pasquale
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