Mentre stavo postando la mia soluzione, mi sono accorto che Leandro aveva inviato la sua ottima soluzione!
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per cui anzitutto ti faccio complimenti; soprattutto per la parte dove applichi Fermat, che io invece ho calcolato "empiricamente" (sto teorema di Fermat mi dimentico sempre che esiste!);
Comunque ormai l'ho scritta e quindi ecco la mia soluzione:
Consideriamo un generico intero $N$, di $c$ cifre;
indichiamo il numero intero formato dalle prime $c-1$ cifre di $N$ con $x$;
ed indichiamo il numero corrispondente all'ultima cifra di $N$ con $y$.
Es. $N=123456\quad\Rightarrow\quad x=12345\quad$ e $\quad y=6$
Possiamo riscrivere $N$ come:
$N=10x+y$
Indicando invece con $M$ il numero che si ottiene da $N$ spostando la sua ultima cifra all'inizio, per quanto indicato sopra, $M$ ci è dato da:
$M=10^{c-1}y+x$
dove $c$ è il numero di cifre di $N$, e quindi anche di $M$.
Ora deve essere $3\cdot N=M$, cioè:
$3(10x+y)=10^{c-1}y+x\quad\Rightarrow\quad29x=(10^{c-1}-3)y$
da cui:
$\frac{29x}{10^{c-1}-3}=y$
Ora, $x$ e $y$ sono interi positivi ed $y$ è compreso tra 0 e 9;
quindi ciò vuol dire che i valori $29x$ e $10^{c-1}-3$ devono essere dello stesso ordine di grandezza, e $29x$ deve essere divisibile per $10^{c-1}-3$;
per quanto riguarda questa divisibilità, si nota che, se x è multiplo di $10^{c-1}-3$ o è proprio pari a $10^{c-1}-3$ si ha $y=29k$ con k intero positivo; il che non è accettabile dato che $0\leq y\leq 9$;
quindi, obbligatoriamente, si deve avere che $10^{c-1}-3$ sia divisibile per 29;
ho provato per valori crescenti di c, e per $c=27$ si ha il numero:
$10^{27}-3=999999999999999999999999997$
che è divisibile per 29, e che ci da:
$\frac{10^{27}-3}{29}=34482758620689655172413793$
quindi il numero cercato ha 27 cifre;
la nostra uguaglianza diventa:
$\frac{29x}{10^{c-1}-3}=y\quad\Rightarrow\quad \frac{29x}{10^{26}-3}=y\quad\Rightarrow\quad \frac{29x}{29\cdot34482758620689655172413793}=y\quad\Rightarrow\quad$
$\frac{x}{34482758620689655172413793}=y\quad\Rightarrow\quad x=34482758620689655172413793\cdot y$
essendo $0\leq y \leq 9$ abbiamo 10 coppie di valori x,y che soddisfano l'uguaglianza; a noi però interessa il numero più piccolo;
per cui dobbiamo scegliere tra le varie coppie quella col valore di x più basso;
poi c'è un'altra condizione da rispettare; e cioè che il prodotto $3\cdot N$ deve avere lo stesso numero di cifre di $N$;
ora per $y=1$ si ha:
$x=34482758620689655172413793$
$y=1$
che però non rispetta la condizione di cui sopra;
la coppia che soddisfa l'uguaglianza e che rispetta la condizione è:
$x=103448275862068965517241379$
$y=3$
e quindi il numero $N$ cercato è:
$N=1034482758620689655172413793$
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