Oggi in classe durante l'extratime "divagazioni matematiche" un allievo ha posto un non improponibile quesito.

Dato un triangolo equilatero, si consideri un punto assolutamente a caso all'interno di esso, denotiamo tale punto come H.
Congiungiamo adesso H ai 2 vertici ad esso più lontani del triangolo in questione, denotiamoli come A e B.
Si genera così un triangolo ABH dall'area indefinita.
Qual è la probabilità che tale area sia maggiore di quella del cerchio inscrittibile nell'equilatero di partenza ?

Con riferimento alla figura: il triangolo $\text{ ABC }$, di lato unitario; il cerchio inscritto di raggio $r = \frac { \sqrt { 3 }} { 6 }$ e area $A = \frac { \pi } { 12 }$; il triangolo tratteggiato di area $A$ costruito sulla base unitaria con altezza $h = 2 A$.

Qualunque punto giacente nel triangolo $\text { AB }^{ \small \prime }\!\text{ C }^{ \small \prime }$ determina, con la base $\text{ BC }$, un triangolo con area maggiore del cerchio inscritto.

Assegnando una probabilità di cadere nel triangolo piccolo proporzionale al rapporto tra l'area di questo e l'area del triangolo grande abbiamo la risposta: tre volte l'area del triangolo piccolo diviso l'area del triangolo grande.

I triangoli sono simili, le aree sono proporzionali al quadrato delle rispettive altezze:

$\displaystyle 3 \left( \frac { \frac { \sqrt { 3 }} { 2 } - \frac { \pi } { 6 }} { \frac { \sqrt { 3 }} { 2 }} \right)^{ \small 2 } = 0,469\ldots$

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la bella spiegazione di Panurgo prende in considerazione i tre triangoli grigi.
Che non mi sembra si sovrappongano...

Lo stesso ragionamento di Panurgo, lo abbiamo adottato noi in classe
per la risoluzione del quesito,nel triangolo si formano 3 zone (triangoli) ben distinte, entro le quali, qualsiasi punto
genera un triangolo con area superiore a quella della circonferenza.per esclusione tutti gli altri punti danno luogo
a triangoli di area inferiore.
Ciao

panurgo ha scritto:Assegnando una probabilità di cadere nel triangolo piccolo proporzionale al rapporto tra l'area di questo e l'area del triangolo grande

Questa non è l'unica scelta possibile.

Per esempio consideriamo un punto (assolutamente a caso), all'interno del triangolo equilatero di lato $1$, così definito: prendiamo tre numeri casuali, $\left( x; y; z \right)$, da una distribuzione uniforme e calcoliamo le distanze dai tre lati $a$, $b$ e $c$ del triangolo

$\displaystyle \left \{ \begin{array}{lC} d_{ \small a } = \frac { x } { x + y +z } \times \frac { \sqrt { 3 }} { 2 } \\ d_{ \small b } = \frac { y } { x + y +z } \times \frac { \sqrt { 3 }} { 2 } \\ d_{ \small c } = \frac { z } { x + y +z } \times \frac { \sqrt { 3 }} { 2 } \end{array} \right.$

profittando del fatto che in un triangolo equilatero la somma delle distanze di un punto interno dai lati è pari all'altezza del triangolo stesso (teorema di Viviani).

Quanto vale ora la probabilità di ottenere un triangolo di area maggiore di quella del cerchio inscritto?

Come piccolo suggerimento vi mostro graficamente il risultato di una simulazione siffatta: a) simulo $x$, $y$ e $z$ da una distribuzione uniforme tra $0$ e $1$, b) calcolo $d_{ \small a }$, $d_{ \small b }$ e $d_{ \small c }$ e c) conto quante volte il maggiore dei tre supera $\pi/6$
P.S.: la statistica mi dà $0,21389\ldots$

Vi darò un altro piccolo aiutino...

Se pescassi 3 biglie con ripetizione, da un'urna di k biglie(numerate in successione da 1 a k)
e abbinassi i 3 valori estratti a x, y, z, troverei a partire da k=4,che la probabilità cercata vale:
$\frac{4k^2-15k+9}{18k^2}$
per k grande il "discreto" tende al continuo e si ottiene P=2/9

sempre che data l'ora, non stia sparandola grossa come spesso accade...
beh,bontà vostra,in tal caso,rimettetemi su una via più consona

Cara sTella_ikoNa, con il mio piccolo trucco ho solo cercato modo semplice di ottenere una distribuzione non uniforme sul triangolo equilatero.

Una terna ordinata, $\left( x; y; z \right)$, di numeri reali rappresenta un punto $\text P$ nello spazio cartesiano tridimensionale (in un cubo unitario se i numeri sono compresi tra $0$ e $1$)


L’operazione di dividere le coordinate per la loro somma rende equivalenti tra loro tutti i punti che hanno le coordinate in egual proporzione, $\left( k \cdot x; k \cdot y; k \cdot z \right)$, e giacciono perciò sulla retta $\text{ OP }$.
Si tratta quindi della proiezione di $\text P$ su una superficie a somma costante, perpendicolare alla diagonale principale del cubo unitario


La superficie qui rappresentata è una superficie a somma $1$, ma qualunque superficie parallela ad essa va bene perchè cambiare superficie corrisponde ad una omotetia e le proporzioni sono salvaguardate.

Con il mio “piccolo aiutino”

panurgo ha scritto:Vi darò un altro piccolo aiutino...

qui andrebbe questa immagine

volevo suggerire come nasceva la differenza di densità tra i diversi punti del triangolo: la lunghezza del segmento staccato del cubo sulle diverse rette è una misura della densità di punti che vengono proiettati in un determinato punto sul triangolo; le tre regioni in cui il triangolo appare suddiviso dagli spigoli del cubo raccolgono ciascuna le proiezioni dei punti che giacciono sulle rette uscenti dalle tre facce del cubo stesso, e più ci si avvicina alla diagonale principale più lungo è il segmento.

Osserviamo la figura successiva


tutti i punti contenuti nella piramide rovesciata vengono proiettati nel triangolino evidenziato. E per questo, possiamo assegnare il valore del rapporto tra il volume della piramide e quello del cubo come probabilità di cadere in uno dei triangolini utili.
Segnamo ora sulla figura le misure dei segmenti


La piramide rovesciata è un quarto di una piramide a base quadrata di altezza $1$ e lato di base $d^{ \small \prime \prime }$ e il suo volume è $d^{ \small \prime \prime 2} / 12$: siccome vi sono tre triangolini utili (e tre piramidi) e il volume del cubo vale $1$ la probabilità cercata vale $d^{ \small \prime \prime 2} / 4$.

Non ci resta che misurare $d^{ \small \prime \prime }$.

Anche nello spazio tridimensionale Talete è Talete: parallele e trasversali ci dicono che

$\displaystyle \frac { d^{ \small \prime }} { d } = \frac { 1 - \alpha } { 1 }$

e

$\displaystyle \frac { d^{ \small \prime \prime }} { d^{ \small \prime }} = \frac { 1 } { \alpha }$

Con pochi passaggi di facile algebra si trova

$\displaystyle d^{ \small \prime \prime } = d\, \frac { d^{ \small \prime } / d } { 1 - d^{ \small \prime } / d }$

Ricaviamo il rapporto $d^{ \small \prime } / d$ dalla figura del mio primo post

qui andrebbe questa immagine

ponendo $d = \overline{ \text{ BC }}$ e $d^{ \small \prime } = \overline{ \text{ B }^{ \small \prime }\! \text{ C }^{ \small \prime }}$: l’area del cerchio inscritto è $\pi\, \left( \frac { \sqrt { 3 }} { 6 } d \right)^{ \small 2 } = \frac { \pi } { 12 }\, d^{ \small 2 }$ e l’altezza del triangolo tratteggiato è $h = \frac { \pi } { 6 }\, d$ quindi

$\displaystyle \frac { d^{ \small \prime }} { d } = \frac { \frac { \sqrt { 3 }} { 2 } d - \frac { \pi } { 6 } d} { \frac { \sqrt { 3 }} { 2 } d } = 1 - \frac { \pi } { \sqrt { 27 }}$

E

$\displaystyle d^{ \small \prime \prime } = d\, \frac { \sqrt { 27 } - \pi } { \pi } = \sqrt { 2 }\, \frac { \sqrt { 27 } - \pi } { \pi }$

(il secondo passaggio perché $d$ è la diagonale di un quadrato unitario).

Sostituendo il valore di $d^{ \small \prime \prime }$ otteniamo la probabilità

$\displaystyle \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { \sqrt { 27 } - \pi } { \pi } \right)^{ \small 2 } = 0,21384\ldots$



P.S.: potresti spiegarmi il tuo ragionamento?

Finalmente oggi ho avuto un pò di tempo per riprendere in mano il quesito.
In soldoni e in breve
dato che,ad esempio per la x:

$\Large\frac{x\sqrt3}{2(x+y+z)}>\frac{\pi}{6}$

si ricava:

$\Large\,x(sqrt27-\pi)-y\pi-z\pi>0$

Posto; $\Large\frac{x(sqrt27-\pi)}{\pi} = 0.654x$

La porzione di spazio interessata,risulta essere:

$\Large\int_0^1\int_0^{0.654x}\int_0^{0.654x-y}\,dx\,dy\,dz$

Il valore dell'integrale triplo 0.07128 va moltiplicato per 3,dato che il
ragionamento si estende anche a y e z,ottenendo appunto 0.2138.
Il risultato ottenuto la scorsa volta era da intendersi approssimato,avendolo ottenuto
da una serie infinita,ove i termini erano stati razionalizzati in maniera grossolana.
Ciao